【題目】如圖所示,已知直線ykx+mx軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過AC兩點(diǎn),點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個交點(diǎn),當(dāng)x=﹣時,y取最大值

1)求拋物線和直線的解析式;

2)設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn),且SABPSBPC13,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)若直線yx+a與(1)中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn),問:

①是否存在a的值,使得∠MON90°?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;

②猜想當(dāng)∠MON90°時,a的取值范圍(不寫過程,直接寫結(jié)論).

【答案】1y=﹣x2x+6,y2x+6;(2)點(diǎn)P(﹣ , )或P(﹣,﹣3);(3)①a=﹣3a,②﹣3a

【解析】

1)先根據(jù)直線的解析式求出A、C的坐標(biāo),然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式,進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo).

2)根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比,因此兩三角形的面積比實際是APPC13,即3APPC,可先求出AC的長,然后分情況討論:

①當(dāng)P在線段AC上時,AP+PCAC3APPC,據(jù)此可求出AP的長,然后根據(jù)∠CAB的三角函數(shù)值或通過構(gòu)建相似三角形可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

②當(dāng)PCA的延長線上時,CPAPAC,3APPC,據(jù)此可求出AP的長,后面同①.

3)①設(shè)直線y x+a與拋物線y=﹣x2x+6的交點(diǎn)為MxM,yM),NxN,yN)(MN左側(cè)),由RtMM′ORtON′N,推出 ,即MM′NN′ON′OM′,推出﹣xMxNyMyN,由方程組消去y整理,得:x2+ x+a60,再利用根與系數(shù)關(guān)系,列出方程即可解決問題.

②利用①的結(jié)果即可判斷.

解:(1)當(dāng)x0時,y6,

C0,6),

當(dāng)y0時,x=﹣3

A(﹣3,0),

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C,

,

解得:

∴拋物線的解析式為y=﹣x2x+6,

當(dāng)y0時,整理得x2+x60,

解得:x12,x2=﹣3,

∴點(diǎn)B2,0).

2)過點(diǎn)BBDAC,D為垂足,

SABPSBPC13

,

APPC13

由勾股定理,得AC3 ,

當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時,過點(diǎn)PPHx軸,點(diǎn)H為垂足,

PHOC

,

PH

2x+6,

x=﹣

∴點(diǎn)P(﹣ ,

當(dāng)點(diǎn)PCA延長線時,作PGx軸,點(diǎn)G為垂足

APPC13

APAC12

,

PG3,

∴﹣32x+6

x=﹣,

∴點(diǎn)P(﹣,﹣3).

3)①存在a的值,使得∠MON90°

設(shè)直線yx+a與拋物線y=﹣x2x+6的交點(diǎn)為MxM,yM),NxNyN)(MN左側(cè))

為方程組 的解

分別過點(diǎn)M、NMM’x軸,NN′x軸,點(diǎn)M、N為垂足.

M′xM0),N′xN,0),

OM′=﹣xMON′xN

∵∠MON90°,

∴∠MOM′+NON′90°

∵∠M′MO+MOM′90°,

∴∠M’MO=∠NON’

RtMM′ORtON′N,

,

MM′NN′ON′OM′

∴﹣xMxNyMyN,

由方程組消去y整理,得:x2+x+a60

xM、xN是方程x2+x+a60的兩個根,

由根與系數(shù)關(guān)系得,xM+xN=﹣,xMxNa6

又∵yMyN=( xM+a)( xN+a)=xMxN+xM+xN+a2a6)﹣a+a2

∴﹣(a6)=a6)﹣a+a2,

整理,得2a2+a150

解得a1=﹣3,a2

∴存在a值,使得∠MON90°,其值為a=﹣3a

②由①可知,當(dāng)∠MON90°時,a的取值范圍為﹣3a

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線Lyax2+bx+ca≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y軸交于C點(diǎn).且A(﹣10),OBOC3OA

1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式;

2)在拋物線L的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使ACM周長最?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)連接ACBC,在拋物線L上是否存在一點(diǎn)N,使SABC2SOCN?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將兩塊斜邊長相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點(diǎn).

(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;

(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:

當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時,線段AM,MN,NB之間有一個不變的關(guān)系式,請你寫出這個關(guān)系式,并說明理由;

當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長線上(如圖③)時,①中的關(guān)系式是否仍然成立?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)A(﹣30),B03),且其對稱軸為直線x=﹣1

1)求此拋物線的解析式;

2)若點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動點(diǎn)(不包括點(diǎn)A,點(diǎn)B),求PAB的面積的最大值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖:二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象所示,下列結(jié)論中:abc0;②2a+b0當(dāng)m1時,a+bam2+bm;ab+c0ax12+bx1ax22+bx2,且x1x2,則x1+x22,正確的個數(shù)為( 。

A. 4B. 3C. 2D. 1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市為了解旅游人數(shù)的變化情況,收集并整理了20171月至201912月期間的月接待旅游量(單位:萬人次)的數(shù)據(jù)并繪制了統(tǒng)計圖如下:

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,下列推斷不合理的是(

A.2017年至2019年,年接待旅游量逐年增加

B.2017年至2019年,各年的月接待旅游量高峰期大致在78月份

C.2019年的月接待旅游量的平均值超過300萬人次

D.2017年至2019年,各年下半年(7月至12月)的月接待旅游量相對于上半年(1月至6月)波動性更小,變化比較平穩(wěn)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,B的半徑OA上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過點(diǎn)BOA的垂線交于點(diǎn)CD,連接ODE上一點(diǎn),,過點(diǎn)C的切線l,連接OE并延長交直線l于點(diǎn)F.

1)①依題意補(bǔ)全圖形.

②求證:∠OFC=ODC.

2)連接FB,若BOA的中點(diǎn),的半徑是4,求FB的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地質(zhì)量監(jiān)管部門對轄區(qū)內(nèi)的甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的某同類產(chǎn)品進(jìn)行檢查,分別隨機(jī)抽取了50件產(chǎn)品并對某一項關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)做檢測,獲得了它們的質(zhì)量指標(biāo)值s,并對樣本數(shù)據(jù)(質(zhì)量指標(biāo)值s)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.該質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下:

質(zhì)量指標(biāo)值

等級

次品

二等品

一等品

二等品

次品

說明:等級是一等品,二等品為質(zhì)量合格(其中等級是一等品為質(zhì)量優(yōu)秀).

等級是次品為質(zhì)量不合格.

b.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下(不完整).

c.乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下.

甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表

分組

頻數(shù)

頻率

2

0.04

m

32

n

0.12

0

0.00

合計

50

1.00

乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖

d.兩企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差如下:

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

極差

方差

甲企業(yè)

31.92

32.5

34

15

11.87

乙企業(yè)

31.92

31.5

31

20

15.34

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1m的值為________,n的值為________.

2)若從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,估計該產(chǎn)品質(zhì)量合格的概率為________;若乙企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品共5萬件,估計質(zhì)量優(yōu)秀的有________萬件;

3)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),你認(rèn)為________企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量較好,理由為______________.(從某個角度說明推斷的合理性)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到DEC,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E,連接BE,下列四個結(jié)論:1. AC=AD 2. ABEB 3.BC=EC 4.A=EBC其中一定正確的是( )

A.1 2B.2 3C.3 4D.2 3 4

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