【題目】已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△ABD沿BD所在直線折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處.
(1)如圖1,若點(diǎn)D是AC中點(diǎn),連接PC.
①寫出BP,BD的長(zhǎng);
②求證:四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)如圖2,若BD=AD,過點(diǎn)P作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求PH的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:①在Rt△ABC中,∵BC=2,AC=4,
∴AB= =2 ,
∵AD=CD=2,
∴BD= =2 ,
由翻折可知,BP=BA=2 .
②如圖1中,
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC=45°,
∴∠ADB=∠BDP=135°,
∴∠PDC=135°﹣45°=90°,
∴∠BCD=∠PDC=90°,
∴DP∥BC,∵PD=AD=BC=2,
∴四邊形BCPD是平行四邊形.
(2)
如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.
設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,
在Rt△BDC中,∵BD2=CD2+BC2,
∴x2=(4﹣x)2+22,
∴x= ,
∵DB=DA,DN⊥AB,
∴BN=AN= ,
在Rt△BDN中,DN= = ,
由△BDN∽△BAM,可得 = ,
∴ = ,
∴AM=2,
∴AP=2AM=4,
由△ADM∽△APE,可得 = ,
∴ = ,
∴AE= ,
∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ,
易證四邊形PECH是矩形,
∴PH=EC= .
【解析】(1)①分別在Rt△ABC,Rt△BDC中,求出AB、BD即可解決問題;②想辦法證明DP∥BC,DP=BC即可;(2)如圖2中,作DN⊥AB于N,PE⊥AC于E,延長(zhǎng)BD交PA于M.設(shè)BD=AD=x,則CD=4﹣x,在Rt△BDC中,可得x2=(4﹣x)2+22 , 推出x= ,推出DN= = ,由△BDN∽△BAM,可得 = ,由此求出AM,由△ADM∽△APE,可得 = ,由此求出AE= ,可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解決問題.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2),還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐:
氫動(dòng)力汽車是一種真正實(shí)現(xiàn)零排放的交通工具,排放出的是純凈水,其具有無(wú)污染,零排放,儲(chǔ)量豐富等優(yōu)勢(shì),因此,氫動(dòng)力汽車是傳統(tǒng)汽車最理想的替代方案.某實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行氫動(dòng)力汽車實(shí)驗(yàn),在一條筆直的公路上有,兩地,小張駕駛氫動(dòng)力汽車從地去地然后立即原路返回到地,小陳駕駛觀察車從地駛向地.如圖是氫動(dòng)力汽車、觀察車離地的距離和行駛時(shí)間之間的函數(shù)圖象,請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題:
(1),兩地的距離是______,小陳駕駛觀察車行駛的速度是______;
(2)當(dāng)小張駕駛氫動(dòng)力汽車從地原路返回地時(shí),有一段時(shí)間小陳駕駛的觀察車與氫動(dòng)力汽車之間的距離不超過30千米,請(qǐng)?zhí)骄看藭r(shí)行駛時(shí)間在哪一范圍內(nèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科技公司研發(fā)出一款多型號(hào)的智能手表,一家代理商出售該公司的A型智能手表,去年銷售總額為8000元,今年A型智能手表的售價(jià)每只比去年降了60元,若售出的數(shù)量與去年相同,銷售總額將比去年減少25%.
(1)請(qǐng)問今年A型智能手表每只售價(jià)多少元?
(2)今年這家代理商準(zhǔn)備新進(jìn)一批A型智能手表和B型智能手表共100只,它們的進(jìn)貨價(jià)與銷售價(jià)格如下表,若B型智能手表進(jìn)貨量不超過A型智能手表數(shù)量的3倍,所進(jìn)智能手表可全部售完,請(qǐng)你設(shè)計(jì)出進(jìn)貨方案,使這批智能手表獲利最多,并求出最大利潤(rùn)是多少元?
A型智能手表 | B型智能手表 | |
進(jìn)價(jià) | 130元/只 | 150元/只 |
售價(jià) | 今年的售價(jià) | 230元/只 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形中,是邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),連接.
(感知)如圖1,過點(diǎn)作交于點(diǎn).易證.(不需要證明)
(探究)如圖2,取的中點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求證:.
(2)連接.若,則的長(zhǎng)為___________.
(應(yīng)用)如圖3,取的中點(diǎn),連接.過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.若,則四邊形的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊AD,BC的中點(diǎn),AC分別交BE,DF于G,H,試判斷下列結(jié)論:①△ABE≌△CDF;②AG=GH=HC;③2EG=BG;④S△ABG:S四邊形GHDE=2:3,其中正確的結(jié)論是( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊,頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F.
(1)求證:△BDF是等腰三角形;
(2)如圖2,過點(diǎn)D作DG∥BE,交BC于點(diǎn)G,連接FG交BD于點(diǎn)O.
①判斷四邊形BFDG的形狀,并說明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°.
(1)連接AD,根據(jù) 易證△ACD≌△ ;
(2)如圖2,若E是AC上一點(diǎn),F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BF,求證:DE=DF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,若G在AB上且∠EDG=60°,試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論;
(4)若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為“∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α”,G在AB上,∠EDG滿足什么條件時(shí),(3)中結(jié)論仍然成立?(只寫結(jié)果不要證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B>∠C,AD⊥BC,垂足為D,AE平分∠BAC.
(1)已知∠B=60°,∠C=30°,求∠DAE的度數(shù);
(2)已知∠B=3∠C,求證:∠DAE=∠C.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,連結(jié)AB.點(diǎn)C 在拋物線上,直線AC與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P在x軸的正半軸上,點(diǎn)Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M,連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N,若M為PQ的中點(diǎn).
①求證:△APM∽△AON;
②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m , 求AN的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示).
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