【題目】已知,如圖:正方形ABCD,將RtEFG斜邊EG的中點(diǎn)與點(diǎn)A重合,直角頂點(diǎn)F落在正方形的AB邊上,RtEFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),(點(diǎn)P與點(diǎn)F重合),如圖1所示:

(1)求證:EP2+GQ2=PQ2;

(2)若將RtEFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°α90°),兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),如圖2所示:判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系?若存在,證明你的結(jié)論.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若將RtEFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(90°α180°),兩直角邊所在的直線分別交BA、AD兩邊延長(zhǎng)線于P、Q兩點(diǎn),并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系?按題意完善圖3,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論(不用證明).

【答案】(1)見解析;(2)PF2+FQ2=EP2+GQ2;(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)EEHFG,由此可證EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PQ=PH,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,由此可以得到EP2+GQ2=PQ2;

(2)過(guò)點(diǎn)EEHFG,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PQPH,由此可證EAH≌△GAQ,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG,又PH=PQ,在Rt△EPH中,EP2+EH2=PH2,即EP2+GQ2=PH2,在Rt△PFQ中,PF2+FQ2=PQ2,故PF2+FQ2=EP2+GQ2;

(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PE2+GQ2=PF2+FQ2,證明方法同上.

(1)過(guò)點(diǎn)EEHFG,連接AH、FH,如圖所示:

EA=AG,HEA=AGQ,HAE=GAD,

∴△EAH≌△GAQ,

EH=QG,HA=AQ,

FAAD,

PQ=PH.

RtEPH中,

EP2+EH2=PH2,

EP2+GQ2=PQ2

(2)過(guò)點(diǎn)EEHFG,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PQ、PH,

EA=AG,HEA=AGQ,HAE=GAD,

∴△EAH≌△GAQ,

EH=QG,HA=AQ,

PAAD,

PQ=PH.

RtEPH中,

EP2+EH2=PH2,

EP2+GQ2=PH2

RtPFQ中,

PF2+FQ2=PQ2

PF2+FQ2=EP2+GQ2

(3)四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2

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求直線b和直線c的解析式;

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(1)該同學(xué)最多可購(gòu)買多少個(gè)甲型小元件?

(2)在該同學(xué)購(gòu)買甲型小元件最多的前提下,用所購(gòu)買的甲、乙兩種型號(hào)的小元件全部制作成創(chuàng)意作品,在制作中其他費(fèi)用共花520元,銷售當(dāng)天,該同學(xué)在成本價(jià)(購(gòu)買小元件的費(fèi)用+其他費(fèi)用)的基礎(chǔ)上每件提高2a%(10a50)標(biāo)價(jià),但無(wú)人問津,于是該同學(xué)在標(biāo)價(jià)的基礎(chǔ)上降低a%出售,最終,在活動(dòng)結(jié)束時(shí)作品全部賣完,這樣,該同學(xué)在本次活動(dòng)中賺了a%,求a的值.

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(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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(2) 畫出ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的DEC(點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng))

(3) 用無(wú)刻度的直尺,運(yùn)用全等的知識(shí)作出ABC的高線BF(保留作圖痕跡)

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A.1B.13C.17D.37

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