Question

【題目】如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，連接BD，CD，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交與點(diǎn)E．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）G是拋物線上B，D之間的一點(diǎn)，且S四邊形CDGB＝4S△DGB，求出G點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在拋物線上B，D之間是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，使以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△BDE相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；頂點(diǎn)；（2）；（3）存在，點(diǎn)或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式，然后化成頂點(diǎn)式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BC，BG，DG，首先求出，然后根據(jù)S四邊形CDGB＝4S△DGB可得，求出直線的解析式，設(shè)，則H（x，2x-6），根據(jù)得出方程，解方程求出x即可解決問題；

（3）如圖3，以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△BDE相似，則以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形與△BDE相似，則或，求出或；然后分和兩種情況，分別求出直線CP的解析式即可解決問題．

解：（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，

，解得，

∴拋物線的解析式為：；

，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）如圖2，連接，BG，DG，

在中，令，則，

∴點(diǎn)，

∴易求直線的解析式為，

設(shè)直線與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)，

∴，

，

四邊形，

，

設(shè)過點(diǎn)與軸平行的直線交BD于點(diǎn)，直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

設(shè)，則H（x，2x-6），

∴，

∴，

整理得，，

解得：，則，

∴點(diǎn)；

（3）存在，

由勾股定理得，，

如圖3，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，

，，，

，與軸的夾角都是，

，

又，

，

，

以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，

或，即或，

解得：或，

過點(diǎn)作軸于，

，

，

①當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

聯(lián)立，解得：（舍去），，

∴點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，

∴，

∴點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，

則，解得，

∴直線的解析式為，

聯(lián)立，解得（舍去），，

點(diǎn)，

綜上所述，存在點(diǎn)或，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．