Question

【題目】工人師傅用一塊長(zhǎng)為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體容器，需要將四角各裁掉一個(gè)正方形．（厚度不計(jì)）

（1）在圖中畫(huà)出裁剪示意圖，用實(shí)線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求長(zhǎng)方體底面面積為12dm2時(shí)，裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大？

（2）若要求制作的長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)不大于底面寬的五倍，并將容器進(jìn)行防銹處理，側(cè)面每平方分米的費(fèi)用為0.5元，底面每平方分米的費(fèi)用為2元，裁掉的正方形邊長(zhǎng)多大時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為多少？

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm，底面積為12dm2；（2）當(dāng)裁掉邊長(zhǎng)為2.5dm的正方形時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為25元．

【解析】試題分析：（1）由題意可畫(huà)出圖形，設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm，則題意可列出方程，可求得答案；

（2）由條件可求得x的取值范圍，用x可表示出總費(fèi)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，可求得答案．

試題解析：（1）如圖所示：

設(shè)裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為xdm，

由題意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，

即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），

答：裁掉的正方形的邊長(zhǎng)為2dm，底面積為12dm2；

（2）∵長(zhǎng)不大于寬的五倍，

∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，

設(shè)總費(fèi)用為w元，由題意可知

w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，

∵對(duì)稱軸為x=6，開(kāi)口向上，

∴當(dāng)0＜x≤2.5時(shí)，w隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=2.5時(shí)，w有最小值，最小值為25元，

答：當(dāng)裁掉邊長(zhǎng)為2.5dm的正方形時(shí)，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為25元．