Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，直線BD與拋物線交于另一點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線BE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PF，當(dāng)△PDF的面積最大時(shí)，在線段BE上找一點(diǎn)G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值．

（3）如圖2，點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)K為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、M、N、K為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+﹣x+2；（2）；（3）N點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（）或（﹣）或（﹣）或（﹣）或或（﹣）

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)稱軸公式列出等式,帶點(diǎn)到拋物線列出等式,解出即可;

(2)先求出A、B、C的坐標(biāo),從而求出D的坐標(biāo)算出BD的解析式,根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)出P、G的坐標(biāo)代入三角形的面積公式得出一元二次方程,聯(lián)立方程組解出即可;

(3)分類討論①當(dāng)AM是正方形的邊時(shí)，(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)(N在下方), (ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí),②當(dāng)AM是正方形的對(duì)角線時(shí),分別求出結(jié)果綜合即可．

(1)拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點(diǎn)B(1，0)．

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+﹣x+2；

(2)拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，

∴A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)．

∵點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，

∴D(﹣2，1)，

∴直線BD的解析式為：，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EF于點(diǎn)G，如圖1，

設(shè)點(diǎn)P(x，)，則點(diǎn)G(x，)．

∴，

當(dāng)x＝﹣時(shí)，S最大，即點(diǎn)P(﹣，)，

過點(diǎn)E作x軸的平行線交PG于點(diǎn)H，

則tan∠EBA＝tan∠HEG＝，

∴，故為最小值，即點(diǎn)G為所求．

聯(lián)立 解得，(舍去)，

故點(diǎn)E(﹣,)，

則PG﹣的最小值為PH＝．

(3)①當(dāng)AM是正方形的邊時(shí)，

(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)(N在下方)，如圖2，

當(dāng)點(diǎn)M在第二象限時(shí)，過點(diǎn)A作y軸的平行線GH，過點(diǎn)M作MG⊥GH于點(diǎn)G，過點(diǎn)N作HN⊥GH于點(diǎn)H，

∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，

∴∠GMA＝∠HAN，

∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，

∴△AGM≌△NHA(AAS)，

∴GA＝NH＝4﹣，AH＝GM，

即y＝﹣，/span>

解得x＝，

當(dāng)x＝時(shí)，GM＝x﹣(﹣4)＝，yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

∴N(,)．

當(dāng)x＝時(shí)，同理可得N(,)，

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得N(,)．

(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，如圖3，

點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H

設(shè)AH＝b，同理△AHM≌△MGN(AAS)，

則點(diǎn)M(﹣4+b，b﹣)．

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：b＝(負(fù)值舍去)

yN＝yM+GM＝yM+AH＝，

∴N(﹣,)．

當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，同理可得N(﹣,-)．

②當(dāng)AM是正方形的對(duì)角線時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M作MG⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)G，

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，如圖4．

∵∠AHN＝∠MGN＝90°，∠NAH＝∠MNG，MN＝AN，

∴△AHN≌△NGN(AAS)，

設(shè)點(diǎn)N(﹣,π)，則點(diǎn)M(﹣,)，

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得, (舍去)，

∴N(,)，

當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，同理可得N(,)．

綜上所述：N點(diǎn)的坐標(biāo)為：或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)．