Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在AB的中點(diǎn)D處，兩直角邊分別與直線AC，直線BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，我們把DE⊥AC時(shí)的位置定為起始位置（如圖1），將三角板繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°）．

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，試判別△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)直線ED交直線BC于點(diǎn)G，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)G，使得△EFG為等腰三角形？若存在，求出CG的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DEF等腰直角三角形,理由見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CD平分∠C，CD⊥AB，進(jìn)而證得△DCE≌△DFB，從而證得DE=DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．

（2）分三種情況分別討論，可得出△EFG為等腰三角形時(shí)CG的長(zhǎng)．

解：（1）△DEF等腰直角三角形．

證明：如圖2，∵AC=BC，∠C=90°，D為AB中點(diǎn)，連接CD，

∴CD平分∠C，CD⊥AB，

∵∠DCB=∠B=45°，

∴CD=DB=1，

∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，

∴∠EDC=∠FDB，

在△DCE和△DFB中，

，

∴△DCE≌△DFB（ASA），

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形．

（2）如圖3a，當(dāng)G在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°

∴△EFG不可能是等腰三角形；

如圖3b，當(dāng)G與C重合時(shí)，E與A重合，F(xiàn)與C重合，

此時(shí)FE=FG，CG=，

如圖3c，當(dāng)G在線段BC上時(shí)，

∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，

∴只能EF=EG，

∵EC⊥FG，

∴FC=CG，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDG=90°，

∴DC=FG=CG，

∴CG=1；

綜上，CG的值為或1．