【題目】已知菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)作平行于 的直線交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),如圖 ①,易證: (不用證明);
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖 ②;當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖 ③,線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想,并選擇其中一種情況加以證明.
【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析;(2)圖②的結(jié)論為;圖③的結(jié)論為;詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)先解直角三角形AOB得出AO=,由菱形的性質(zhì)得到AC=,延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G,證明四邊形AGFD是平行四邊形得到AC=FG,再證明PE=PG即可得到答案;
(2)在②中延長(zhǎng)FE交BC的延長(zhǎng)線于G,可證得PF=PG,再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG,可證得;在③中,延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)G,可證明PG=PF,可得到
(1)∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴∠OAB=30°,∠AOB=90°,,
∴
∴
∴
延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)G,
∵AB//CD,AC//FG
∴四邊形ACFG是平行四邊形,
∴AC=FG(平行四邊形的對(duì)邊相等)
∵EG//AC,
∴ (被平行線所截的線段對(duì)應(yīng)成比例)
又∵OA=OC
∴PE=PG,
∴AC=FG=PF+PG=PE+PF
∴
)當(dāng)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖②,結(jié)論為
證明:延長(zhǎng)FE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵AC∥FG,
∴,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AO=CO,
∴PF=PG,
∴EG=PG-PE=PF-PE,
又∵AB∥CG,AC∥EG,
∴四邊形ACEG為平行四邊形,
∴AC=EG,
∴AC=PF-PE,
當(dāng)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖③,結(jié)論為
延長(zhǎng)EF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵AC∥EF,
∴,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AO=CO,
∴PG=PE,
∴FG=PG-PF=PE-PF,
又∵AC∥EG,AG∥CF,
∴四邊形AGFC為平行四邊形,
∴FG=AC,
∴AC=PE-PF,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在城市改造中,市政府欲在一條人工河上架一座橋,河的兩岸PQ與MN平行,河岸MN上有A、B兩個(gè)相距50米的涼亭,小亮在河對(duì)岸D處測(cè)得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到達(dá)C處,測(cè)得∠BCP=30°,求這條河的寬.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),且OC=OB,tan∠OAC=4.
(1)求拋物線的解析式:
(2)若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H,作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)E,求△PHM的周長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE,DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F,連接AD,CE.
(1)求證:AE=CE;
(2)若BC=,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小李去買(mǎi)套裝色水筆和筆記本,若購(gòu)買(mǎi)袋筆和本筆記本,他身上的錢(qián)還差元,若改 成購(gòu)買(mǎi)袋筆和本筆記本,他身上的錢(qián)會(huì)剩下元.若他把身上的錢(qián)都花掉,購(gòu)買(mǎi)這兩種 物品(兩種都買(mǎi))的方案有( )
A.種B.種C.種D.種
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示,若a=2,b=3,現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針,則針尖落在陰影域內(nèi)的概率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以為直徑的圓交于點(diǎn),交于點(diǎn),以點(diǎn)為頂點(diǎn)作,使得,交延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接、,延長(zhǎng)交于點(diǎn).
(1)求證:為的切線;
(2)求證:;
(3)若,且,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(2,3),B(6,n)兩點(diǎn),與x軸、y軸分別交于C,D兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.
(2)求當(dāng)x為何值時(shí),y1>0.
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【題目】某服裝加工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間共同加工一款休閑裝,且每人每天加工的件數(shù)相同,甲車(chē)間比乙車(chē)間少10人,甲車(chē)間每天加工服裝400件,乙車(chē)間每天加工服裝600件.
(1)求甲、乙兩車(chē)間各有多少人;
(2)甲車(chē)間更新了設(shè)備,平均每人每天加工的件數(shù)比原來(lái)多了10件,乙車(chē)間的加工效率不變,在兩個(gè)車(chē)間總?cè)藬?shù)不變的情況下,加工廠計(jì)劃從乙車(chē)間調(diào)出一部分人到甲車(chē)間,使每天兩個(gè)車(chē)間加工的總數(shù)不少于1314件,求至少要從乙車(chē)間調(diào)出多少人到甲車(chē)間.
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