Question

【題目】已知菱形的對角線交于點是直線上任意一點(異于點)，過點作平行于 的直線交直線于點，交直線于點．

（1）當點在線段上時，如圖 ①，易證: (不用證明)；

（2）當點在線段的延長線上時，如圖 ②;當點在線段的延長線上時，如圖 ③，線段之間又有怎樣的數量關系? 請寫出你的猜想，并選擇其中一種情況加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）圖②的結論為；圖③的結論為；詳見解析.

【解析】

（1）先解直角三角形AOB得出AO=，由菱形的性質得到AC=，延長FP交AB于點G，證明四邊形AGFD是平行四邊形得到AC=FG，再證明PE=PG即可得到答案；

（2）在②中延長FE交BC的延長線于G，可證得PF=PG，再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG，可證得；在③中，延長CB交EF于點G，可證明PG=PF，可得到

（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴∠OAB=30°，∠AOB=90°，，

∴

∴

∴

延長FP交AB于點G，

∵AB//CD，AC//FG

∴四邊形ACFG是平行四邊形，

∴AC=FG(平行四邊形的對邊相等)

∵EG//AC，

∴ (被平行線所截的線段對應成比例)

又∵OA=OC

∴PE=PG，

∴AC=FG=PF+PG=PE+PF

∴

)當P在DB的延長線上時，如圖②，結論為

證明：延長FE交DA的延長線于點G，

∵AC∥FG，

∴，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AO=CO，

∴PF=PG，

∴EG=PG-PE=PF-PE，

又∵AB∥CG，AC∥EG，

∴四邊形ACEG為平行四邊形，

∴AC=EG，

∴AC=PF-PE，

當P在BD的延長線上時，如圖③，結論為

延長EF交BA的延長線于點G，

∵AC∥EF，

∴，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AO=CO，

∴PG=PE，

∴FG=PG-PF=PE-PF，

又∵AC∥EG，AG∥CF，

∴四邊形AGFC為平行四邊形，

∴FG=AC，

∴AC=PE-PF，

∴．