Question

【題目】定義：如果把一條拋物線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的拋物線我們稱為原拋物線的“孿生拋物線”.

（1）求拋物線y=x-2x的“孿生拋物線”的表達(dá)式；

（2）若拋物線y=x-2x+c的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，其“孿生拋物線”與y軸交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷△DCC’的形狀，并說明理由：

（3）已知拋物線y=x-2x-3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，那么是否在其“孿生拋物線”上存在點(diǎn)P，在y軸上存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-（x-1）=-x+2x-2;（2）等腰Rt△，（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）.

【解析】

（1）當(dāng)拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是開口方向相反，則可根據(jù)頂點(diǎn)式寫出旋轉(zhuǎn)后的拋物線解析式；

（2）可分別求出原拋物線和其“孿生拋物線”與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C、C′，由點(diǎn)的坐標(biāo)可知△DCC’是等腰直角三角形；

（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孿生拋物線”為y=-x2+2x-5，當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)可知點(diǎn)P不存在，當(dāng)AC為邊時(shí)，分兩種情況可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）拋物線y=x2-2x化為頂點(diǎn)式為y=（x-1）2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），由于拋物線y=x2-2x繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，只是開口方向相反，

則所得拋物線解析式為y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2；

（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：

∵拋物線y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，

∴拋物線頂點(diǎn)為D的坐標(biāo)為（1，c-1），與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），

∴其“孿生拋物線”的解析式為y=-（x-1）2+c-1，與y軸的交點(diǎn)C’的坐標(biāo)為（0，c-2），

∴CC'=c-（c-2）=2，

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，

∴∠CDC'=90°，

由對(duì)稱性質(zhì)可知DC=DC’，

∴△DCC'是等腰直角三角形；

（3）∵拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，

令x=0，y=-3，令y=0時(shí)，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，

∴C（0，-3），A（3，0），

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴其“孿生拋物線”的解析式為y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，

若A、C為平行四邊形的對(duì)角線，

∴其中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，

設(shè)P（a，-a2+2a-5），

∵A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∴Q（0，a-3），

∴＝，

化簡(jiǎn)得，a2+3a+5=0，△＜0，方程無實(shí)數(shù)解，

∴此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P不存在，

若AC為平行四邊形的邊，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則AP∥CQ且AP=CQ，

∵點(diǎn)C和點(diǎn)Q在y軸上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，

把x=3代入“孿生拋物線”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，

∴P1（3，-8），

若AC為平行四邊形的邊，點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則AQ∥CP且AQ=CP，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3，

把x=-3代入“孿生拋物線”的解析式y=-9-6-5=-20，

∴P2（-3，-20）

∴原拋物線的“孿生拋物線”上存在點(diǎn)P1（3，-8），P2（-3，-20），在y軸上存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．