Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)D、E分別為邊AB、BC中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ∥AC，且點(diǎn)Q在直線AB左側(cè)，AP＝PQ，過點(diǎn)Q作QM⊥AB交射線AB于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）

（1）用含t的代數(shù)式表示線段DM的長(zhǎng)度；

（2）求當(dāng)點(diǎn)Q落在BC邊上時(shí)t的值；

（3）設(shè)△PQM與△DEB重疊部分圖形的面積為S（平方單位），當(dāng)△PQM與△DEB有重疊且重疊部分圖形是三角形時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C和△PQM中一個(gè)頂點(diǎn)的直線平分△PQM的內(nèi)角時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤時(shí)，DM＝﹣9t+10，當(dāng)＜t≤4時(shí)，DM＝9t﹣10；（2）s；（3）當(dāng)＜t≤時(shí)，重疊部分是△DMK，S）＝t2﹣t+．當(dāng)≤t≤4時(shí)， S＝6t2﹣48t+96．（4）t的值為s或s．

【解析】

（1）分點(diǎn)M在線段AD上或點(diǎn)M在線段AD的延長(zhǎng)線時(shí)兩種情形分別求解．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，由PQ∥AC，可得，由此構(gòu)建方程即可解決問題．

（3）分兩種情形：①如圖3-1中，當(dāng)＜t≤時(shí)，重疊部分是△DMK．②如圖3-2中，當(dāng)≤t≤4時(shí)，重疊部分是△PBK，分別求解．（4）分兩種情形：①如圖4-1中，當(dāng)直線CQ平分∠PQM時(shí)，設(shè)直線CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，構(gòu)建方程即可．②如圖4-2中，當(dāng)CM平分∠QMP時(shí)，作CG⊥AB于G．求出AM的長(zhǎng)，構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，

∴AB＝，

∵PQ∥AC，

∴∠A＝∠QPM，

∵∠C＝∠PMQ＝90°，

∴△ACB∽△PMQ，

∴,

∴,

∴PM＝4t，MQ＝3t，

當(dāng)0＜t≤時(shí)，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．

當(dāng)＜t≤4時(shí)，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．

（2）如圖2中，

當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，∵PQ∥AC，

∴,

∴，

解得t＝，

∴當(dāng)點(diǎn)Q落在BC邊上時(shí)t的值為s．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)＜t≤時(shí)，重疊部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．

如圖3﹣2中，當(dāng)≤t≤4時(shí)，重疊部分是△PBK，S＝PKBK＝×（20﹣5span>t）（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．

（4）如圖4﹣1中，當(dāng)直線CQ平分∠PQM時(shí)，設(shè)直線CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．

∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，

∴△QGK≌△QGM（AAS），

∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，

∴PG＝PK＝t，

∵PQ∥AC，

∴，

∴，

∴t＝ ．

如圖4﹣2中，當(dāng)CM平分∠QMP時(shí)，作CG⊥AB于G．

∵ACBC＝ABCG，

∴CG＝，AG＝，

∵∠CMG＝∠GCM＝45°，

∴CG＝GM＝，

∴AM＝9t＝，

解得t＝ ，

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．