Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個動點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，△CPQ的面積為S．
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)S最大時，在拋物線y=﹣ x2+bx+c的對稱軸l上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8

（2）解：①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，

則sin∠ACB= = = ，

∴ = ，

∴QE= （10﹣m），

∴S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m；

②∵S= CPQE= m× （10﹣m）=﹣ m2+3m=﹣ （m﹣5）2+ ，

∴當(dāng)m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8的對稱軸為x= ，

D的坐標(biāo)為（3，8），Q（34），

當(dāng)∠FDQ=90°時，F(xiàn)1（ ，8），

當(dāng)∠FQD=90°時，則F2（ ，4），

當(dāng)∠DFQ=90°時，設(shè)F（ ，n），

則FD2+FQ2=DQ2，

即 +（8﹣n）2+ +（n﹣4）2=16，

解得：n=6± ，

∴F3（ ，6+ ），F(xiàn)4（ ，6﹣ ），

滿足條件的點(diǎn)F共有四個，坐標(biāo)分別為

F1（ ，8），F(xiàn)2（ ，4），F(xiàn)3（ ，6+ ），F(xiàn)4（ ，6﹣ ）．

【解析】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組，接下來，解方程求得b、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）①先依據(jù)勾股定理求得AC的長，從而可表示CQ的長，然后過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得QE的長，然后依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式；②先依據(jù)函數(shù)關(guān)系式求得當(dāng)S最大值是m的值，從而可確定出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后再求得拋物線的對稱軸從而得到點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，然后再分為∠FDQ=90°，∠FQD=90°、∠DFQ=90°三種情況求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)即可.