【題目】如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個動點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)S最大時,在拋物線y=﹣ x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線,得

,

解得: ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8


(2)解:①∵OA=8,OC=6,

∴AC= =10,

過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn),

則sin∠ACB= = = ,

=

∴QE= (10﹣m),

∴S= CPQE= (10﹣m)=﹣ m2+3m;

②∵S= CPQE= (10﹣m)=﹣ m2+3m=﹣ (m﹣5)2+ ,

∴當(dāng)m=5時,S取最大值;

在拋物線對稱軸l上存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,

∵拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8的對稱軸為x= ,

D的坐標(biāo)為(3,8),Q(34),

當(dāng)∠FDQ=90°時,F(xiàn)1 ,8),

當(dāng)∠FQD=90°時,則F2 ,4),

當(dāng)∠DFQ=90°時,設(shè)F( ,n),

則FD2+FQ2=DQ2,

+(8﹣n)2+ +(n﹣4)2=16,

解得:n=6± ,

∴F3 ,6+ ),F(xiàn)4 ,6﹣ ),

滿足條件的點(diǎn)F共有四個,坐標(biāo)分別為

F1 ,8),F(xiàn)2 ,4),F(xiàn)3 ,6+ ),F(xiàn)4 ,6﹣ ).


【解析】(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組,接下來,解方程求得b、c的值,從而可求得拋物線的解析式;
(2)①先依據(jù)勾股定理求得AC的長,從而可表示CQ的長,然后過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn),依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得QE的長,然后依據(jù)三角形的面積公式可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式;②先依據(jù)函數(shù)關(guān)系式求得當(dāng)S最大值是m的值,從而可確定出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后再求得拋物線的對稱軸從而得到點(diǎn)F的橫坐標(biāo),然后再分為∠FDQ=90°,∠FQD=90°、∠DFQ=90°三種情況求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)即可.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】完成下面的證明

如圖FG//CD,∠1=∠3,∠B=50°,求BDE的度數(shù).

:∵FG//CD (已知)

∴∠2=_________(____________________________)

又∵∠1=∠3,

∴∠3=∠2(等量代換)

BC//__________(_____________________________)

∴∠B+________=180°(______________________________)

又∵∠B=50°

∴∠BDE=________________.

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【題目】完善下列解題步驟,并說明解題依據(jù).

如圖,已知,求證:

證明:(已知),

_____________________),

_____________________),

___________)(________________),

______)(______________________),

(已知),

_______

___________________).

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(1)求證:CE是⊙O的切線;
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其中正確的結(jié)論是( )

A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

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