Question

【題目】如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函數(x＞0)圖象的交點，且點A的橫坐標為1．

(1)求k的值；

(2)如圖1，雙曲線(x＞0)上一點M，若S△AOM=4，求點M的坐標；

(3)如圖2所示，若已知反比例函數(x＞0)圖象上一點B(3，1)，點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函數(x＞0)圖象上另一點，是否存在以P、A、 B、Q為頂點的平行四邊形?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝3（2）M（3，1）或M（，9）（3）Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．

【解析】

（1）點A是直線y＝2x＋1的點，點A的橫坐標為1，代入y＝2×1＋1＝3，求得點A即可得到結果；

（2）如圖1，設點M（m，），過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，根據題意得：S△AOM＝S梯形AEFM解方程即可得到結果；

（3）首先求得反比例函數的解析式，然后設P（m，m），分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點Q的坐標．

（1）∵點A是直線y＝2x＋1的點，點A的橫坐標為1，

∴y＝2×1＋1＝3，

∴A（1，3），

∵點A是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的點，

∴k＝3；

（2）如圖1，設點M（m，），過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，

當M在A點右側時，根據題意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（m1）＝4，

解得：m＝3，m=-（負值舍去），

當M在A點右側時，根據題意得：S△AOM＝S梯形AEFM＝（3＋）×（1m）＝4，

解得：m＝，m=-3（負值舍去），

綜上，m＝3或，

故M（3，1）或M（，9）；

（3）∵反比例函數y＝（x＞0）圖象經過點A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函數的解析式為y＝，

∵點P在直線y＝x上，

∴設P（m，m）

，若PQ為平行四邊形的邊，

∵點A的橫坐標比點B的橫坐標小2，點A的縱坐標比點B的縱坐標大2，

∴點Q在點P的下方，則點Q的坐標為（m＋2，m2）如圖2，

若點Q在點P的上方，則點Q的坐標為（m2，m＋2）如圖3，

把Q（m＋2，m2）代入反比例函數的解析式得：（m＋2）（m-2）=3

m＝±，

∵m＞0，

∴m＝，

∴Q1（＋2，2），

同理可得另一點Q2（2，＋2）；

②若PQ為平行四邊形的對角線，如圖4，

∵A、B關于y＝x對稱，

∴OP⊥AB

此時點Q在直線y＝x上，且為直線y＝x與雙曲線y＝的交點，

由解得或（舍去）

∴Q3（，）

綜上所述，滿足條件的點Q有三個，坐標分別為：Q1（＋2，2），Q2（2，＋2），Q3（，）．