【題目】在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,E是射線DC上的點(diǎn),連接AE,將△ADE沿直線AE翻折得△AFE.
(1)如圖①,點(diǎn)F恰好在BC上,求證:△ABF∽△FCE;
(2)如圖②,點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi),連接CF,若DE=1,求△EFC的面積;
(3)若以點(diǎn)E、F、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,則DE的長(zhǎng)為 .
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)、5、15、
【解析】
(1)利用同角的余角相等,證明∠CEF=∠AFB,即可解決問題;(2)過點(diǎn)F作FG⊥DC交DC與點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,由△FGE∽△AHF得出AH=5GF,再利用勾股定理求解即可;(3)分①當(dāng)∠EFC=90°時(shí); ②當(dāng)∠ECF=90°時(shí);③當(dāng)∠CEF=90°時(shí)三種情況討論解答即可.
(1)解:在矩形ABCD中,∠B=∠C=∠D=90°
由折疊可得:∠D=∠EFA=90°
∵∠EFA=∠C=90°
∴∠CEF+∠CFE=∠CFE+∠AFB=90°
∴∠CEF=∠AFB
在△ABF和△FCE中
∵∠AFB=∠CEF,∠B=∠C=90°
△ABF∽△FCE
(2)解:過點(diǎn)F作FG⊥DC交DC與點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,則∠EGF=∠AHF=90°
在矩形ABCD中,∠D=90°
由折疊可得:∠D=∠EFA=90°,DE=EF=1,AD=AF=5
∵∠EGF=∠EFA=90°
∴∠GEF+∠GFE=∠AFH+∠GFE=90°
∴∠GEF=∠AFH
在△FGE和△AHF中
∵∠GEF=∠AFH,∠EGF=∠FHA=90°
∴△FGE∽△AHF
∴=
∴=
∴AH=5GF
在Rt△AHF中,∠AHF=90°
∵AH2+FH2=AF2
∴(5 GF)2+(5 -GF)2=52
∴GF=
∴△EFC的面積為××2= ;
(3)解:①當(dāng)∠EFC=90°時(shí),A、F、C共線,如圖所示:
設(shè)DE=EF=x,則CE=3-x,
∵AC=
②當(dāng)∠ECF=90°時(shí),如圖所示:
∵AD==5,AB=3, ∴==4, 設(shè)=x,則=3-x,∵∠DCB=∠ABC=90°,
∴∽,∴,即,解得:x==;
由折疊可得 : ,設(shè),則,,
在RT△中,
∵,即9+x=(x+3),解得x==12, ∴;
③當(dāng)∠CEF=90°時(shí),AD=AF,此時(shí)四邊形AFED是正方形,∴AF=AD=DE=5,
綜上所述,DE的長(zhǎng)為:、5、15、.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AED,點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E、D.F為AC的中點(diǎn),連接BF、DF、BE,DF與EA相交于點(diǎn)G,BE與AC相交于點(diǎn)H.
(1)如圖1,求證:四邊形BFDE為平行四邊形;
(2)如圖2,連接CE,在不添加任何輔助線與字母的情況下,請(qǐng)直接寫出所有與△AEC全等的三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F,連接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,設(shè)A,E兩點(diǎn)間的距離為xcm,△DEF面積為ycm2.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小明的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)確定自變量x的取值范圍是 ;
(2)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量、分析,得到了x與y的幾組值,如表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y/cm2 | 4.0 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.3 | 2.0 | … |
(說明:補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))
(3)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)△DEF面積最大時(shí),AE的長(zhǎng)度為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(4,0)與軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖②,點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形?若存在,求M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,AB=4,點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),且∠APB=30°,設(shè)圖中陰影部分的面積為y.
(1)⊙O的半徑為 ;
(2)若點(diǎn)P到直線AB的距離為x,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并直接寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與雙曲線相交于點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式:
(2)畫出直線和雙曲線的示意圖;
(3)直接寫出的解集______;
(4)若點(diǎn)是坐標(biāo)軸負(fù)半軸上一點(diǎn),且滿足.直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB=12cm,C是線段AB上一定點(diǎn),且AC=3cm,點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)CD=xcm,以C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段AC以D為中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段DB,使A、B兩點(diǎn)能重合于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)C、D、E三點(diǎn)能構(gòu)成三角形時(shí),求x的取值范圍;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),△CDE是直角三角形?
(3)記△CDE的面積為Scm2,試求出S與x的函數(shù)表達(dá)式;若△CDE的面積為cm2,試確定此時(shí)點(diǎn)D的位置?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的不透明卡片,它們除數(shù)字外其余全部相同,現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻.
(1)隨機(jī)抽取一張卡片,則抽到數(shù)字“2”的概率是___________;
(2)從四張卡片中隨機(jī)抽取2張卡片,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求抽到“數(shù)字和為5”的概率.
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