【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1,0），B（4,0）與軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）9；（3）存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（）使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形

【解析】

(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，帶入解析式，即可求得a、b的值.

（2）根據(jù)PA=PB，要求四邊形PAOC的周長最小，只要P、B、C三點(diǎn)在同一直線上，因此很容易計(jì)算出最小周長.

（3）首先根據(jù)△BQM為直角三角形，便可分為兩種情況QM⊥BC和QM⊥BO，再結(jié)合△QBM∽△CBO，根據(jù)相似比例便可求解.

解：（1）將點(diǎn)A（1,0），B（4,0）代入拋物線中，得：

解得：

所以拋物線的解析式為.

（2）由（1）可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線.連接BC，交拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)P,此時(shí)四邊形PAOC的周長最小，最小值為OA+OC+BC=1+3+5=9.

(3) 當(dāng)QM⊥BC時(shí)，易證△QBM∽△CBO 所以 ,

又因?yàn)椤?/span>CQM為等腰三角形 ，所以QM=CM.設(shè)CM=x, 則BM=5- x

所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.

過點(diǎn)M作NM⊥OB于N，則MN//OC, 所以 ,

即 ，所以,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

當(dāng)QM⊥BO時(shí), 則MQ//OC, 所以 , 即

設(shè)QM=3t, 則BQ=4t, 又因?yàn)椤?/span>CQM為等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t

又因?yàn)?/span>QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得

MQ=3t=,, 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）.

綜上所述，存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（）使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形

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（2）如圖②，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)，連接CF，若DE＝1，求△EFC的面積；

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