【題目】如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A1,0),B4,0)與軸交于點(diǎn)C

1)求拋物線的解析式;

2)如圖①,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長最小?若存在,求出四邊形PAOC周長的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

3)如圖②,點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形?若存在,求M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)9;(3)存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為()或()使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形

【解析】

(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn),帶入解析式,即可求得a、b的值.

2)根據(jù)PA=PB,要求四邊形PAOC的周長最小,只要P、B、C三點(diǎn)在同一直線上,因此很容易計(jì)算出最小周長.

(3)首先根據(jù)△BQM為直角三角形,便可分為兩種情況QMBCQMBO,再結(jié)合△QBM∽△CBO,根據(jù)相似比例便可求解.

解:(1)將點(diǎn)A1,0),B4,0)代入拋物線中,得:

解得:

所以拋物線的解析式為.

2)由(1)可知,拋物線的對(duì)稱軸為直線.連接BC,交拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)P,此時(shí)四邊形PAOC的周長最小,最小值為OA+OC+BC=1+3+5=9.

(3) 當(dāng)QMBC時(shí),易證△QBM∽△CBO 所以 ,

又因?yàn)椤?/span>CQM為等腰三角形 ,所以QM=CM.設(shè)CM=x, BM=5- x

所以 所以.所以QM=CM=BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.

過點(diǎn)MNM⊥OBN,則MN//OC, 所以 ,

,所以,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

當(dāng)QMBO時(shí), MQ//OC, 所以 ,

設(shè)QM=3t, BQ=4t, 又因?yàn)椤?/span>CQM為等腰三角形 ,所以QM=CM=3t,BM=5-3t

又因?yàn)?/span>QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得

MQ=3t=,, 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(.

綜上所述,存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為()或()使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形

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