Question

【題目】如圖，為等邊三角形，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：．

（2）如圖1，若點(diǎn)在邊上，猜想線段與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）成立，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得，從而求出，然后利用等角對(duì)等邊即可證出，從而證出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定也是等邊三角形，然后利用AAS即可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而證出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的判定也是等邊三角形，然后利用AAS即可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而證出結(jié)論；

（1）證明：∵為等邊三角形，是的中點(diǎn)，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

（2）．

理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

∵是等邊三角形，

∴也是等邊三角形，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

又∵，，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∵是等邊三角形，

∴也是等邊三角形，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴．