【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a≠0),與x軸交與A(x1,0)B(x2,0)兩點,與y軸交與C點.
(1)求出該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點的坐標(biāo).
(2)若A為(1)中所求的某一定點,且x1、x2,之間的整數(shù)恰有3個(不包括x1、x2),試求a的取值范圍.
(3)當(dāng)a=時,將與x軸重合的直線繞著D(﹣5,0)逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線l:y=kx+b,過點C、B分別作l的垂線段,距離為d1、d2,試分別求出當(dāng)|d1﹣d2|最大和最小時b的值.
【答案】(1)定點的坐標(biāo)為(1,0)或(2,﹣1);(2)﹣<a≤﹣或≤a<;(3)b的值為或﹣或10或或﹣10或.
【解析】
(1)由y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1 (a≠0),可得y=(x2﹣3x+2)a﹣x+1,由該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點,可得x2﹣3x+2=0,解方程即可解決問題;
(2)分兩種情形討論求解,分別列出不等式組即可解決問題;
(3)當(dāng)B(4,0)時,①如圖1中,CE⊥l于E,BF⊥l于F,連接BC交EF于K.當(dāng)CE=BF時,|d1﹣d2|的值最小,易證明△CEK≌△BFK,可得CK=BK,推出K(2,1),求出直線DK的解析式即可解決問題;另外當(dāng)直線平行BC時,|d1﹣d2|的值最小;②如圖2中,如圖2中,作 CK⊥BF于K,則四邊形CEFK是矩形,在Rt△CBK中,易知BK≤BC,推出當(dāng)BC⊥DE時,|d1﹣d2|的值最大,由此求出直線DE的解析式即可解決問題;當(dāng)點B坐標(biāo)為(1,0)時,同法可求;
(1)∵y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1 (a≠0),
∴y=(x2﹣3x+2)a﹣x+1,
∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點,
∴x2﹣3x+2=0,
∴x=1或2,
∵x=1時,y=0,x=2時,y=﹣1,
∴定點的坐標(biāo)為(1,0)或(2,﹣1).
(2)易知A(1,0),B(2+ ,0),
∵x1、x2,之間的整數(shù)恰有3個(不包括x1、x2),
∴﹣3≤2+ <﹣2或4<2+ ≤5,
解得﹣<a≤﹣或≤a<.
(3)∵a=,
∴C(0,2),B(1,0)或(4,0),
①當(dāng)B(4,0)時,①如圖1中,CE⊥l于E,BF⊥l于F,連接BC交EF于K.
當(dāng)CE=BF時,|d1﹣d2|的值最小,易證明△CEK≌△BFK,
∴CK=BK,
∵C(0,2),B(4,0),
∴K(2,1),
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,
把D(﹣5,0),K(2,1)代入得到,
解得,
當(dāng)直線與BC平行時,|d1﹣d2|的值最小,
∵直線BC的解析式為y=﹣x+2,
此時直線的解析式為y=﹣x﹣,
∴b=﹣,
②如圖2中,如圖2中,作 CK⊥BF于K,則四邊形CEFK是矩形,
∵CE=FK,
∴|d1﹣d2|=BF﹣CE=BK,
在Rt△CBK中,易知BK≤BC,
∴當(dāng)BC⊥DE時,|d1﹣d2|的值最大,
∵直線BC的解析式為y=﹣x+2,
∴可以假設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b,把D(﹣5,0)代入得到b=10,
綜上所述,滿足條件的b的值為或﹣或10.
當(dāng)B點坐標(biāo)為(1,0)時,同法可求b的值為或﹣10或.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸分別交于點A,點B(3,0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式;
(2)連接PO,PC,并把△POC沿y軸翻折,得到四邊形POP′C.若四邊形POP′C為菱形,請求出此時點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ACPB的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD,BE
(1)求證:CE=AD
(2)當(dāng)點D在AB中點時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明理由
(3)若D為AB的中點,則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?說明理由.
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【題目】如圖,A(﹣5,0),B(﹣3,0)點C在y的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°,點P從點A出發(fā),沿x軸向右以每秒1個單位長度的速度運動,運動時間為t秒.
(1)當(dāng)時t=1,求PC的長;
(2)當(dāng)∠BCP=15°時,求t的值;
(3)以線段PC為直徑的⊙Q隨點P的運動而變化,當(dāng)⊙Q與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,求t的值.
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【題目】已知:如圖,△ABC是等邊三角形,點D、E分別在邊BC、AC上,∠ADE=60°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)如果AB=3,EC=,求DC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個實數(shù)根x1,x2.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若x1,x2滿足x12+x22=16+x1x2,求實數(shù)k的值.
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【題目】把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組,每組3張,分別標(biāo)上1、2、3,將這兩組卡片分別放入兩個盒子中攪勻,再從中隨機抽取一張.
(1)試求取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的概率;
(2)若取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù),則甲勝;取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù),則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
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【題目】如圖,AC為⊙O的直徑,MN為⊙O的切線,點D為切點,連結(jié)AD.直線MN與直線AC交于點B,過點A作AE⊥MN,垂足為E.
(1)求證:AD平分∠EAB.
(2)求證:AD2=AGAB.
(3)若AE=6,BE=8,求BC的長.
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