【題目】如圖,正方形ABCD中,PAB邊上任意一點(diǎn),AE⊥DPE,點(diǎn)FDP的延長(zhǎng)線上,且EF=DE,連接AF、BF,∠BAF的平分線交DFG,連接GC.

(1)求證:△AEG是等腰直角三角形;

(2)求證:AG+CG=DG.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)根據(jù)線段垂直平分線的定義得到AF=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義證明即可;
(2)作CHDP,交DPH點(diǎn),證明ADE≌△DCH(AAS),得到CH=DE,DH=AE=EG,證明CG= GH,AG=DH,計(jì)算即可.

試題解析:

(1)證明:∵DE=EF,AEDP,

AF=AD,

∴∠AFD=ADF,

∵∠ADF+DAE=PAE+DAE=90°,

∴∠AFD=PAE,

AG平分∠BAF,

∴∠FAG=GAP.

∵∠AFD+FAE=90°,

∴∠AFD+PAE+FAP=90°

2GAP+2PAE=90°,

即∠GAE=45°,

∴△AGE為等腰直角三角形;

(2)證明:作CHDP,交DPH點(diǎn),

∴∠DHC=90°.

AEDP,

∴∠AED=90°,

∴∠AED=DHC.

∵∠ADE+CDH=90°,CDH+DCH=90°,

∴∠ADE=DCH.

∵在ADEDCH中,

,

∴△ADE≌△DCH(AAS),

CH=DE,DH=AE=EG.

EH+EG=EH+HD,

GH=ED,

GH=CH.

CG=GH.

AG=EG,

AG=DH,

CG+AG=GH+HD,

CG+AG=(GH+HD),

CG+AG=DG.

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