【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上.O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,8).動點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā).沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個單位的速度運(yùn)動,同時動點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā),沿AB向終點(diǎn)B以每秒個單位的速度運(yùn)動.當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動,設(shè)動點(diǎn)M、N運(yùn)動的時間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=3秒時,直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)在此運(yùn)動的過程中,△MNA的面積是否存在最大值?若存在,請求出最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時,△MNA是一個等腰三角形?
【答案】(1)N(3,4),;(2)存在,最大值為6;(3)2或或.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)A、B的坐標(biāo)和勾股定理可得AB=10,當(dāng)t=3秒時,AN= ,即N是AB的中點(diǎn),由此得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,4),設(shè)交點(diǎn)式利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)過N作MA邊上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表達(dá)式,而AM=OA-OM,由三角形的面積公式可得到關(guān)于S△MNA關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,由二次函數(shù)的最值原理即可求出△MNA的最大面積(3)首先求出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后表示出AM、MN、AN三邊的長,分三種情況討論:①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可。
試題解析:解:(1)N(3,4)。
∵A(6,0)
∴可設(shè)經(jīng)過O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=ax(x﹣6),則將N(3,4)代入得
4=3a(3﹣6),解得a=﹣。
∴拋物線的解析式: 。
(2)存在。過點(diǎn)N作NC⊥OA于C,
由題意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,
∴NC=NAsin∠BAO= 。
∴。
∴△MNA的面積有最大值,且最大值為6。
(3)在Rt△NCA中,AN=t,NC=ANsin∠BAO= ,AC=ANcos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N(6﹣t, )。
∴。
又AM=6﹣t且0<t<6,
①當(dāng)MN=AN時, ,即t2﹣8t+12=0,解得t1=2,t2=6(舍去)。
②當(dāng)MN=MA時, ,即,解得t1=0(舍去),t2=。
③當(dāng)AM=AN時,6﹣t=t,即t=。
綜上所述,當(dāng)t的值取 2或或時,△MAN是等腰三角形。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.3x+2y=5xyB.(x4)3=x12
C.(x+y)2=x2+y2D.2x2÷2x2=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA在x軸的負(fù)半軸上,邊OC在y軸的正半軸上,且OA=1,tan∠ACB=2,將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF.點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,拋物線y=ax2+bx+2的圖象過點(diǎn)A,C,F.
(1)求拋物線所對應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在邊DE上是否存在一點(diǎn)M,使得以O,D,M為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似,若存在,求出經(jīng)過M點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式,若不存在,請說明理由;
(3)在x軸的上方是否存在點(diǎn)P,Q,使以O,F,P,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍,且點(diǎn)P在拋物線上,若存在,請求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不能存在,請說明理由;
(4)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)H,使得HA﹣HC的值最大,若存在,直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與CD相交于點(diǎn)O, .
(1)如果,那么根據(jù)___________,可得=__________度.
(2)如果,求的度數(shù).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(n,﹣3)關(guān)于x軸對稱,則m+n的值是( )
A. ﹣1 B. 1 C. 5 D. ﹣5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)據(jù)3,1,5,1,3,4中,數(shù)據(jù)“3”出現(xiàn)的頻數(shù)是( 。
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,利用直尺和圓規(guī),根據(jù)下列要求作圖(保留作圖痕跡,不要求寫作法),并根據(jù)要求填空:
(1)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D;
(2)作線段BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.由(1)、(2)可得:線段EF與線段BD的關(guān)系為 .
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【題目】如果一個等腰三角形的兩邊長分別是4cm和5cm,那么此三角形的周長是( )
A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 13cm或14cm
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