【題目】一次函數(shù)y=﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B.頂點(diǎn)為(1,4)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,△ABC的面積為S.當(dāng)m為何值時(shí),S的值最大,并求S的最大值;
(3)在(2)的結(jié)論下,若點(diǎn)M在y軸上,△ACM為直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3
(2)當(dāng)m=2時(shí),S的值最大,最大值為
(3)(0,﹣1)、(0,5)、或
【解析】
(1)設(shè)拋物線的解析式為,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求解.
(2)連接0C,可得點(diǎn)根據(jù)一次函數(shù)y=-2x-2得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用三角形面積公式得出的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的表達(dá)式即可求解.
(3)設(shè)M(0,n),已知A、C點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AC的解析式,分三種情況,當(dāng)AC⊥MC,求出M點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)AC⊥AM時(shí),求出M點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)AM⊥MC時(shí),求出M點(diǎn)坐標(biāo).
(1)一次函數(shù)y=﹣2x﹣2與x軸交于點(diǎn)A,則A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
∵拋物線的頂點(diǎn)為(1,4),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4,
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),
∴0=a(﹣1﹣1)2+4,
∴a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(2)連接OC,點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,
∴C(m,﹣m2+2m+3),
一次函數(shù)y=﹣2x﹣2與y軸交于點(diǎn)B,則OB=2,
∵A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
∴OA=1,
∴,
∴當(dāng)m=2時(shí),S的值最大,最大值為.
(3)設(shè)M(0,n),
∵A(﹣1,0),C(2,3),
∴直線AC的解析式為y=x+1,
①當(dāng)AC⊥MC時(shí),=﹣1,
∴n=5,
∴M(0,5);
②當(dāng)AC⊥AM時(shí),n=﹣1,
∴M(0,﹣1);
③當(dāng)AM⊥MC時(shí),n=﹣1,
∴n=
∴M(0,)或M(0,);
綜上所述:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,﹣1)、(0,5)、(0,)或(0,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象相交于(1,),兩點(diǎn),點(diǎn)在第四象限,∥ 軸,.
(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求的值.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒 個(gè)單位長度的速度沿線段AD運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線段D﹣O﹣C運(yùn)動(dòng),已知P、Q同時(shí)開始移動(dòng),當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí),P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=1秒時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P、Q之間的距離為4個(gè)單位長度,求t的值;
(3)若線段PQ的中點(diǎn)為M,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中;直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長度為 .
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【題目】如圖,已知點(diǎn)、在雙曲線上,軸于,軸于點(diǎn),與交于點(diǎn),是的中點(diǎn).
(1)試判斷四邊形的形狀,并說明理由.
(2)若的面積為,求該雙曲線的解析式.
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【題目】矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(10,0)、C(0,3),直線與BC相交于點(diǎn)D,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AD,試判斷△OAD的形狀,并說明理由.
(3)若點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),對(duì)稱軸與OD、x軸分別交于點(diǎn)M、N,問:是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求的值;
(2)已知點(diǎn),過點(diǎn)作平行于軸的直線,交直線于點(diǎn),交函數(shù)的圖象于點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),求線段的長;
②若,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,分別以正方形的三邊為直徑在正方形內(nèi)部作半圓,則陰影部分的面積之和是( 。
A.8B.4C.16πD.4π
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【題目】某校八年級(jí)學(xué)生小麗、小強(qiáng)和小紅到某超市參加了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),在活動(dòng)中他們參與了某種水果的銷售工作.已知該水果的進(jìn)價(jià)為8元/千克,下面是他們?cè)诨顒?dòng)結(jié)束后的對(duì)話.
小麗:如果以10元/千克的價(jià)格銷售,那么每天可售出300千克.
小強(qiáng):如果每千克的利潤為3元,那么每天可售出250千克.
小紅:如果以13元/千克的價(jià)格銷售,那么每天可獲取利潤750元.
【利潤=(銷售價(jià)-進(jìn)價(jià))銷售量】
(1)請(qǐng)根據(jù)他們的對(duì)話填寫下表:
銷售單價(jià)x(元/kg) | 10 | 11 | 13 |
銷售量y(kg) |
(2)請(qǐng)你根據(jù)表格中的信息判斷每天的銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x(元)之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系.并求y(千克)與x(元)(x>0)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)該超市銷售這種水果每天獲取的利潤為W元,求W與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí),每天可獲得的利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】當(dāng)今社會(huì)手機(jī)越來越普遍,有很多人每天過分依賴手機(jī),每天使用手機(jī)時(shí)間過長而形成了“手機(jī)癮”.為了解某高校大學(xué)生每天使用手機(jī)時(shí)間的情況,某社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)間,將調(diào)查結(jié)果分為五類:A.基本不用;B.平均每天使用1~2小時(shí);C.平均每天使用2~4小時(shí);D.平均每天使用4~6小時(shí);E.平均每天使用超過6小時(shí)并把所得數(shù)據(jù)繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若每天使用手機(jī)的時(shí)間超過6小時(shí),則患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”.該校共有學(xué)生14900人,試估計(jì)該校約有多少人患有嚴(yán)重的“手機(jī)癮”;
(3)在被調(diào)查的基本不使用手機(jī)的4位同學(xué)中有2男2女,現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)去參加座談會(huì),請(qǐng)你用列表法或樹狀圖法求出所選兩位同學(xué)恰好是一名男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.
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