Question

【題目】如圖所示，等邊△ABC中D點為AB邊上一動點，E為直線AC上一點，將△ADE沿著DE折疊，點A落在直線BC上，對應點為F，若AB＝4，BF：FC＝1：3，則線段AE的長度為_____．

Answer 1

【答案】或14

【解析】

點E在直線AC上，本題分兩類討論，翻折后點F在BC線段上或點F在CB延長線上，根據一線三角的相似關系求出線段長．

解：按兩種情況①點F在線段BC上，如圖所示，由折疊性質可知

∠A＝∠DFE＝60°

∵∠BFD+∠CFE＝120°，∠BFD+∠BDF＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠B＝∠C

∴△BDF∽△CFE，∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3

∴BF＝1，CF＝3

設AE＝x，則EF＝AE＝x，CE＝4﹣x

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝AD+BD＝4

∴

解得x＝，經檢驗當x＝時，4﹣x≠0

∴x＝是原方程的解

②當點F在線段CB的延長線上時，如圖所示，同理可知

△BDF∽△CFE

∴

∵AB＝4，BF：FC＝1：3，可得BF＝2，CF＝6

設AE＝a，可知AE＝EF＝a，CE＝a﹣4

∴

解得BD＝，DF＝

∵BD+DF＝BD+AD＝4

∴解得a＝14

經檢驗當a＝14時，a﹣4≠0

∴a＝14是原方程的解，綜上可得線段AE的長為或14

故答案為或14