【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求此二次函數(shù)解析式;
(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;
(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.(2)證明見解析;(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(, )或(2,3).
【解析】試題(1)將A(﹣1,0)、C(0,3),代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a,求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式;(2)分別求得線段BC、CD、BD的長,利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定即可;(3)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論.運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,再結(jié)合拋物線解析式即可求解.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、C(0,3),∴將A(﹣1,0)、C(0,3),代入,得,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)如圖,連接DC、BC、DB,由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得,D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),∴CD==,BC==3,BD==2,∵CD2+BC2=()2+(3)2=20,BD2=(2)2=20,∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD是直角三角形;(3)y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1.假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,①以CD為底邊,則P1D=P1C,設(shè)P1點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2,P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2,即y=4﹣x.又P1點(diǎn)(x,y)在拋物線上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=<1,(不滿足在對稱軸右側(cè)應(yīng)舍去),∴x=,∴y=4﹣x=,即點(diǎn)P1坐標(biāo)為(, ).②以CD為一腰,∵點(diǎn)P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上,由拋物線對稱性知,點(diǎn)P2與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱,此時點(diǎn)P2坐標(biāo)為(2,3).∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(, )或(2,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四張背面完全相同的紙牌(如圖,用①、②、③、④表示),正面分別寫有四個不同的條件.小明將這4張紙牌背面朝上洗勻后,先隨機(jī)抽出一張(不放回),再隨機(jī)抽出一張.
(1)寫出兩次摸牌出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果(用①、②、③、④表示);
(2)以兩次摸出的牌面上的結(jié)果為條件,求能判斷四邊形ABCD為平行四邊形的概率.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四條拋物線如圖所示,其解析式中的二次項系數(shù)一定小于1的是( 。
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①3a+b<0;②﹣1≤a≤﹣;③對于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E,連接PE,交CD于F,求以C、E、F為頂點(diǎn)三角形與△COD相似時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的弦,P為AB的中點(diǎn),連接OA、OP,將△OPA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△OQB.設(shè)⊙O的半徑為1,∠AOQ=135°,則AQ的長為______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖顯示了用計算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗的結(jié)果.
下面有三個推斷:
①當(dāng)投擲次數(shù)是500時,計算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率是0.616;
②隨著實(shí)驗次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“釘尖向上”的概率是0.618;
③若再次用計算機(jī)模擬實(shí)驗,則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時,“釘尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是( )
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn),把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) ,旋轉(zhuǎn)角度是 度;
(2)若連結(jié)EF,則△AEF是 三角形;并證明
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【題目】如圖,在△ABC中,∠CAB=30°,將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置,且CC'∥AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )
A. 100° B. 120° C. 110° D. 130°
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