Question

【題目】如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在軸上，OC=4，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BC上，ED⊥AD.

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)BD，求cot∠BDE的值；

（3）點(diǎn)G在直線BC，且∠EDG=45°，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（4,1）；（2）2；（3）（4，）或（4,6）.

【解析】

（1）先求出OA、OD、DC的長(zhǎng)度，再證明△AOD≌△DCE，從而得出EC=OD，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作EQ⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求DQ和EQ的長(zhǎng)度，即可求出cot∠BDE；（3）分G在C點(diǎn)下方和B點(diǎn)上方兩種情況討論，借助三角形的相似即可求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A在y軸上，

∴A(0,3)，即OA=3

當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=1

∴D(1,0)，即OD=1

∵矩形OABC中OC=4，

∴OB=OA=3,DC=OC-OD=3

∠AOC=∠BCD=90°.

∴∠OAD+∠ADO=90°

∵ED⊥AD

∴∠EDC+∠ADO=90°

∴∠EDC=∠OAD

又∵OA=CD=3

∴△AOD≌△DCE（ASA）

∴CE=OD=1

∴E（4,1）.

（2）過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BD，與BD相交于Q.

∵DC=BC=3，∠BCD=90°，

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴BD=，∠DBC=45°

∵EQ⊥BD

∴△EBQ為等腰直角三角形

∵CE=1

∴BE=BC-CE=2

∴BQ=QE=

∴QD=

∴

(3)如圖①當(dāng)G點(diǎn)在C點(diǎn)上方時(shí)

∵∠EDG=45°=∠EDC+∠GDC

∠BDC=45°= ∠BDE +∠EDC

∴∠GDC=∠BDE

∴Rt△GCD∽Rt△EQD

∴

即

解得GC=

故G（4，）；

②當(dāng)G‘點(diǎn)在B點(diǎn)上方時(shí)

∵∠DG‘C+∠G‘DB=∠DBC=45°

∠G‘DB+∠BDE=∠EDG‘=45°

∴∠DG‘C=∠BDE

∵∠DBC=∠EDG‘ =45°

∴△DEG‘∽△BED

∴

∵,BE=2,

∴EG‘=5

∴CG‘=6即G‘（4,6）

故G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）或（4,6）.