【題目】如圖,是的直徑,弦,
(1)求證:是等邊三角形.
(2)若點是的中點,連接,過點作,垂足為,若,求線段的長;
(3)若的半徑為4,點是弦的中點,點是直線上的任意一點,將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得點,求線段的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)利用垂徑定理的推論證明AB垂直平分DC,得到AD=AC,再證明∠DAC=60°即可推出△ACD是等邊三角形;
(2)連接OC,OE,先證明∠OCF=90°,再求出半徑OC的長.在Rt△OCF中通過勾股定理即可求出OF的長;
(3)先判斷點P'的軌跡是直線DB,過點Q作QP'⊥DB于點P',則QP'的值最小,連接DQ,再求出DQ的長度.解Rt△QDP'即可得出結(jié)論.
(1)如圖1.
設(shè)AB與DC交點為H.
∵AB是⊙O的直徑,CD⊥AB,∴DH=CH,,,∴AD=AC,∠CAB=∠DAB=30°,∴∠DAC=60°,∴△ACD是等邊三角形;
(2)如圖2,連接OC,OE.
∵△ACD是等邊三角形,∴∠D=60°,∴∠AOC=2∠D=120°.
∵∠CAB=30°,∴∠HOC=60°.
∵E為中點,∴,∴∠EOC=∠EOA120°=60°,∴∠EAC∠EOC=30°.在Rt△ACF中,∵CF=2,∠EAC=30°,∴AC=4,∠ACF=60°,∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°,∴DC=AC=4,∴CHDC=2.在Rt△OHC中,∵∠HOC=60°,∠OCH=30°,∴OC=2.在Rt△OCF中,OF;
(3)如圖3,隨著點P的運動,點P'的軌跡為直線DB,過點Q作QP'⊥DB于點P',則QP'的值最小,連接DQ.
∵Q為AC中點,∴AQ=CQAC,∠ADQ=∠CDQ∠ADC=30°,∴∠OCH=30°.在Rt△OCH中,OC=4,∴HC=42,∴DC=4.在Rt△DCQ中,∠DCQ=60°,∴DQ=46.在Rt△QDP'中,∠QDP'=90°﹣∠ADQ=60°,∴QP'=63.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點B (4,0)、D (5,3),設(shè)它與x軸的另一個交點為A(點A在點B的左側(cè)),且△ABD的面積是3.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)求∠ADB的正切值;
(3)若拋物線與y軸交于點C,直線CD交x軸于點E,點P在射線AD上,當(dāng)△APE與△ABD相似時,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,是等邊三角形,點,分別在邊,上.若,則,,,之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)拓展探究
如圖2,是等腰三角形,,,點,分別在邊,上.若,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
(3)解決問題
如圖3,在中,,,點從點出發(fā),以img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/05/25/16/9b7a314d/SYS202005251646204964745826_ST/SYS202005251646204964745826_ST.021.png" width="47" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />的速度沿方向勻速運動,同時點從點出發(fā),以的速度沿方向勻速運動,當(dāng)其中一個點運動至終點時,另一個點隨之停止運動.連接,在右側(cè)作,該角的另一邊交射線于點,連接.設(shè)運動時間為,當(dāng)為等腰三角形時,直接寫出的值.
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【題目】如圖,拋物線 與x軸交于點A(﹣1,0),頂點坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點在(0,3),(0,4)之間(包含端點),則下列結(jié)論:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m為任意實數(shù));⑤一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根,其中正確的有( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD∥BC,交AB于點D,連接PQ分別從點A、C同時出發(fā),當(dāng)其中一點到達(dá)端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB= ,PD= .
(2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度;
(3)如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點與坐標(biāo)原點重合,頂點分別在坐標(biāo)軸的正半軸上, ,點在直線上,直線與折線有公共點.
(1)點的坐標(biāo)是 ;
(2)若直線經(jīng)過點,求直線的解析式;
(3)對于一次函數(shù),當(dāng)隨的增大而減小時,直接寫出的取值范圍.
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【題目】近幾年購物的支付方式日益增多,某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果顯示支付方式有:微信、支付寶、現(xiàn)金、其他.該小組對某超市一天內(nèi)購買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計,得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次一共調(diào)查了 名購買者?
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;在扇形統(tǒng)計圖中,種支付方式所對應(yīng)的圓心角為 度;
(3)若該超市這一周內(nèi)有2000名購買者,請你估計使用和兩種支付方式的購買者共有多少名?
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【題目】為迎接2022年冬奧會,鼓勵更多的學(xué)生參與到志愿服務(wù)中來,甲、乙兩所學(xué)校組織了志愿服務(wù)團(tuán)隊選拔活動,經(jīng)過初選,兩所學(xué)校各有400名學(xué)生進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié).為了了解兩所學(xué)校這些學(xué)生的整體情況,從兩校進(jìn)人綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.甲學(xué)校學(xué)生成績的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成6組:,,,,,);
b.甲學(xué)校學(xué)生成績在這一組的是:
80 80 81 81.5 82 83 83 84
85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c.乙學(xué)校學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(85分及以上為優(yōu)秀)如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 |
83.3 | 84 | 78 | 46% |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)甲學(xué)校學(xué)生A,乙學(xué)校學(xué)生B的綜合素質(zhì)展示成績同為83分,這兩人在本校學(xué)生中的綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是______(填“A”或“B”);
(2)根據(jù)上述信息,推斷_____學(xué)校綜合素質(zhì)展示的水平更高,理由為_____(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性);
(3)若每所學(xué)校綜合素質(zhì)展示的前120名學(xué)生將被選入志愿服務(wù)團(tuán)隊,預(yù)估甲學(xué)校分?jǐn)?shù)至少達(dá)到____分的學(xué)生才可以入選.
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【題目】若拋物線y=x2﹣3x+c與y軸的交點為(0,2),則下列說法正確的是( 。
A. 拋物線開口向下
B. 拋物線與x軸的交點為(﹣1,0),(3,0)
C. 當(dāng)x=1時,y有最大值為0
D. 拋物線的對稱軸是直線x=
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