Question

如圖1，在平面直角坐標系xoy中，Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接寫出，Rt△AOB的內心P的坐標；
（2）如圖2，若將Rt△AOB繞其直角頂點A順時針旋轉α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角邊AD與x軸相交于點N，直角邊AC與y軸相交于點M，連接MN．設△MON的面積為S_△MON，△AOB的面積為S_△AOB，以點M為圓心，MO為半徑作⊙M，
①當直線AD與⊙M相切時，試探求S_△MON與S_△AOB之間的關系．
②當S_△MON=

1

4

S_△AOB時，試判斷直線AD與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）r=

2+2 3 -4

2

=

3

-1
則P的坐標是：（3-

3

，

3

-1）；

（2）①當AD與⊙M相切時，過M作MN⊥AO于點H，則MH=OM，此時，點H與點A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴

S△MON

S△ACD

=（

AN

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

；
②∵S_△AMN=

1

4

S_△AOB=

1

4

S_△ACD，
∴

1 2 OM•ON

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
∵由（2）不難得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴

MO

BN

=

AO

AB

=

2

2 3

=

1

3

，
∵設OM=x，BN=

3

x，NO=4-

3

x，
∴

1 2 •x(4- 3 x)

1 2 ×2×2 3

=

1

4

，
解得：x₁=

3

，x₂=

3

3

，
∴當x=

3

時，OM=

3

，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直線AD與⊙M相交，
當x=

3

3

時，MO=

3

3

，NO=3，
∴NM=

9+ 1 3

=

2 21

3

，
∴AM=

21

3

，
∵

21

3

＞

3

3

，
∴直線AD與⊙M相離．