【題目】如圖,已知AC=BC,點(diǎn)DBC上一點(diǎn),∠ADE=C

1)如圖1,若∠C=90°,∠DBE=135°

①求證:∠EDB=CAD;

②求證:DA=DE;

2)如圖2,若∠C=40°,DA=DE,求∠DBE的度數(shù);

3)如圖3,請直接寫出∠DBE與∠C之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),總有DA=DE成立.

【答案】1)①證明見解析;②證明見解析;(2)∠AGD=110°;(3)∠DBE=90°+C

【解析】

1)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平角的定義可得結(jié)論;

②如圖1,作輔助線,構(gòu)建等腰直角三角形,利用ASA證明△AFD≌△DBEASA),可得結(jié)論;

2)方法一:如圖2,同理作輔助線,證明△AGD≌△DBESAS),得∠AGD=DBE=110°;

方法二:如圖2,延長DB到點(diǎn)H使DH=AC,連接EH,證明△ACD≌△DHESAS),得∠C=H=40°CD=EH,再根據(jù)已知證明CD=BH=EH,可得結(jié)論;

3)同理作輔助線,證明△AFD≌△DBESAS),根據(jù)三角形的外角和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論.

1)證明:①∵∠ADE=C,

∴∠CAD=180°-C-ADC,

EDB=180°-ADE-ADC,

∴∠CAD=EDB

②在AC上截取CF=CD,連接FD,(或在AC上截取AF=BD,連接FD

∵∠C=90°,

∴∠CFD=CDF=45°,

∴∠AFD=135°=DBE,

AC=BC,

AC-CF=BC-CD,即:AF=BD,

由①知:∠CAD=BDE

∴△AFD≌△DBEASA),

DA=DE

2)方法一:如圖2,在AC上截取AG=DB,連接GD(在AC上截取CG=CD,連接GD),

AC=BC

AC-AG=BC-BD即:CG=CD,

∴∠CGD=CDG==70°

DA=DE,∠CAD=EDB(已證),AG=DB,

∴△AGD≌△DBESAS),

∴∠AGD=DBE=110°;

方法二:如圖3,延長DB到點(diǎn)H使DH=AC,連接EH,

∵∠CAD=BDE,AD=DE

∴△ACD≌△DHESAS),

∴∠C=H=40°,CD=EH,

AC=BC=DH,

CD=BH=EH,

∴∠HBE=HEB=70°,

∴∠DBE=110°;

3)當(dāng)∠DBE=90°+C時(shí),總有DA=DE成立;

理由是:如圖3,在AC上截取CF=CD,連接DF,則∠CDF=CFD,

設(shè)∠CDF=x,

CDF中,∠C+CDF+CFD=180°,

∴∠C+x+x=180°

x==90°-,

同理得△AFD≌△DBESAS),

∴∠AFD=DBE=C+CDF=C+x=C+90°-C,

∴∠DBE=90°+C

練習(xí)冊系列答案
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(2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CB 的延長線上時(shí),其它條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;

(3)在點(diǎn) E 從點(diǎn)D 向點(diǎn)B 的運(yùn)動過程中,四邊形 AFNM 的面積是否會發(fā)生變化?若發(fā)生了變化,請說明理由;若沒有發(fā)生變化,請求出其面積的值.

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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