【題目】已知:拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2)
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn),是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P?若不存在,請(qǐng)說明理由;若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,﹣1),連接AD,將線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN(點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)A、D對(duì)應(yīng)),使點(diǎn)M、N都在拋物線上,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)當(dāng)x=2時(shí),S有最大值為4,此時(shí)P(2,3);(3)N(1,3),M(3,2).
【解析】
(1) 根據(jù)拋物線y=y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A (-1, 0)C(0,2)兩點(diǎn),列出b和c的二元一次方程組,求出b和c的值, 進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)P作PQ//y軸,交直線BC于Q,設(shè)P(x,),則Q(x,);求出PQ的長(zhǎng), 利用=PQ.OB列出S關(guān)于的二次函數(shù), 利用函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)作輔助線,根據(jù)線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN可知: 旋轉(zhuǎn)后的MN與AD平行且相等,構(gòu)建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根據(jù)A、 D兩點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn), N點(diǎn)向下平移1個(gè)單位再向右移動(dòng)兩個(gè)單位得M,設(shè)N的坐標(biāo)為:設(shè)N(m,) , 根據(jù)平移規(guī)律表示M (m+2, ) , 代入拋物線的解析式即可
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式:y=﹣x2+x+2;
(2)∵令y=0,則=﹣x2+x+2=0,
解得x1=﹣1,x2=4
∴B(4,0),
∴直線BC:y=﹣x+2;
如圖1,過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交直線BC于Q,
設(shè)P(x,﹣x2+x+2),則Q(x,﹣x+2);
∴PQ=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x,
S△PCB=PQOB=×(﹣x2+2x)×4=﹣(x﹣2)2+4;
當(dāng)x=2時(shí),S有最大值為4,此時(shí)P(2,3);
(3)如圖2,過D作DG⊥x軸于G,過N作NH∥y軸,過M作MH∥x軸,交于H,
由題意得:△ADG≌△MNG,
∵A(﹣1,0),D(1,﹣1),
∴AG=2,DG=1,
∴NH=DG=1,MH=AG=2,
設(shè)N(m,﹣m2+m+2),則M(m+2,﹣m2+m+2﹣1),
把M的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣x2+x+2中得:
﹣(m+2)2+(m+2)+2=﹣m2+m+2﹣1,
解得:m=1,
當(dāng)m=1時(shí),﹣m2+m+2=3,
∴N(1,3),M(3,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若邊AC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,連接CD,則△BDC的周長(zhǎng)為( 。
A. 8 B. 9 C. 5+ D. 5+
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【題目】如圖,已知 AB 是⊙O 的直徑,點(diǎn) C、D 在⊙O 上,過 D 點(diǎn)作 PF∥AC交⊙O 于 F,交 AB 于點(diǎn) E,∠BPF=∠ADC
(1)求證:AEEB=DEEF.
(2)求證:BP 是⊙O 的切線:
(3)當(dāng)?shù)陌霃綖?/span>,AC=2,BE=1 時(shí),求 BP 的長(zhǎng),
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,,為軸正半軸上一點(diǎn),連接,在第一象限作, ,過點(diǎn)作直線軸于,直線與直線交于點(diǎn),且,則直線解析式為____________.
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【題目】給出下列命題:①在直角三角形ABC中,已知兩邊長(zhǎng)為3和4,則第三邊長(zhǎng)為5;②三角形的三邊a、b、c滿足a2+c2=b2,則∠C=90°;③△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,則△ABC是直角三角形;④△ABC中,若a:b:c=1:2:,則這個(gè)三角形是直角三角形,其中,正確命題為_____(選填序號(hào)).
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【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),并觀察圖象直接寫出當(dāng)為何值時(shí)?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn).將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置,使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合,連接BE、EC.
試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的猜想.
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【題目】如圖,已知AC=BC,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),∠ADE=∠C.
(1)如圖1,若∠C=90°,∠DBE=135°.
①求證:∠EDB=∠CAD;
②求證:DA=DE;
(2)如圖2,若∠C=40°,DA=DE,求∠DBE的度數(shù);
(3)如圖3,請(qǐng)直接寫出∠DBE與∠C之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),總有DA=DE成立.
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【題目】□ABCD中,E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn),下列條件中,不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是( )
A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF
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