【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4cm,BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°,點P1cm/s的速度自點A向終點B運動,點Q同時以1cm/s的速度自點B向終點C運動,連接AQ、DP,設(shè)運動時間為t s

1)當t=   s時,點P到達點B;

2)求證:在運動過程中,△ABQDAP始終成立;

3)如圖2,作QMPD,且QM=PD,作MN射線BC于點N,連接CM,請問在Q的運動過程中,MCN的度數(shù)是否改變?如果不變,請求出MCN;如果改變,請說明理由.

【答案】14;(2)證明見解析;(3)∠MCN=45°

【解析】

1)根據(jù)AB=4cm,點P1cm/s的速度自點A向終點B運動計算即可;

2)根據(jù)題意得到AP=BQ,利用SAS定理證明;

3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QM=AQ,∠AQB=QMN,證明AQB≌△QMN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QN=AB,MN=BQ,結(jié)合圖形證明即可.

1)∵AB=4cm,點P1cm/s的速度自點A向終點B運動,

∴點P到達點B所用的時間為:4÷1=4s),

故答案為:4

2)在運動過程中,AP=BQ=t,

ABQDAP中,

,

∴△ABQ≌△DAP;

3)∠MCN的度不改變,始終為45°,

理由如下:∵△ABQ≌△DAP

AQ=DP,

QM=PD,

QM=AQ,

∵△ABQ≌△DAP

∴∠BAQ=ADP,

∵∠BAQ+DAQ=90°,

∴∠ADP+DAQ=90°,即∠AED=90°

QMPD,

∴∠AQM=AED=90°

∴∠AQB+MQN=90°,

∴∠AQB=QMN,

AQBQMN中,

,

∴△AQB≌△QMN

QN=AB,MN=BQ

BC=QN,

BC-QC=QN-QC,即BQ=CN,

MN=CN,

∴∠MCN=45°

練習冊系列答案
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