Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求直線DP的函數(shù)解析式；

(2)①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②如圖②，把長(zhǎng)方形沿著OP折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）①S＝6或S＝﹣2t+16；②點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，10）；（3）存在，滿(mǎn)足題意的P坐標(biāo)為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【解析】

（1）設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，將D與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式；

（2）①當(dāng)P在AC段時(shí)，△ODP底OD與高為固定值，求出此時(shí)面積；當(dāng)P在BC段時(shí)，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關(guān)系式；

②當(dāng)D關(guān)于OP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在x軸上時(shí)，直線OP為y=x，求出此時(shí)P坐標(biāo)即可；

（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可．

解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四邊形OACB為長(zhǎng)方形，

∴C（6，10）．

設(shè)此時(shí)直線DP解析式為y＝kx+b，

把（0，2），C（6，10）分別代入，得

，

解得

則此時(shí)直線DP解析式為y＝x+2；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，OD＝2，高為6，S＝6；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，OD＝2，高為6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16；

②設(shè)P（m，10），則PB＝PB′＝m，如圖2，

∵OB′＝OB＝10，OA＝6，

∴AB′＝＝8，

∴B′C＝10﹣8＝2，

∵PC＝6﹣m，

∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝

則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，10）；

（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①當(dāng)BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，

在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，

根據(jù)勾股定理得：CP1＝＝2，

∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；

②當(dāng)BP2＝DP2時(shí)，此時(shí)P2（6，6）；

③當(dāng)DB＝DP3＝8時(shí)，

在Rt△DEP3中，DE＝6，

根據(jù)勾股定理得：P3E＝＝2，

∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），

綜上，滿(mǎn)足題意的P坐標(biāo)為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

點(diǎn)睛】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問(wèn)的關(guān)鍵．