Question

【題目】如圖，拋物線（、、為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，在直線下方的拋物線上是否存在點(diǎn)使四邊形的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，試指出為等腰三角形的點(diǎn)共有幾個？并求以為底邊時，點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或或.

【解析】

（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為，代入即可求得函數(shù)的解析式；

（2）作輔助線，將四邊形分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設(shè)，四邊形的面積為，用字母表示出四邊形的面積，發(fā)現(xiàn)是一個二次函數(shù)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）分三種情況畫圖：①以為圓心，為半徑畫弧，交對稱軸于和，有兩個符合條件的和；②以為圓心，以為半徑畫弧，也有兩個符合條件的和；③作的垂直平分線交對稱軸于一點(diǎn)，有一個符合條件的；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出坐標(biāo).

解：（1）設(shè)，

把代入：，

，

∴；

（2）存在，

如圖1，分別過、向軸作垂線和，垂足分別為、，

設(shè)，四邊形的面積為，

則，，，，，

∴，

，

，

，

當(dāng)時，有最大值為48，這時，

∴，

（3）這樣的點(diǎn)一共有5個，

①以為圓心，以為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于、，則，

設(shè)對稱軸交軸于，

；

∴拋物線的對稱軸是：，

∵，，

∴，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

②以為圓心，以為半徑畫弧，交拋物線的對稱軸于、，

∴，

過作于，則，

∵，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

③連接、，

因為在對稱軸上，所以設(shè)，

∵是等腰三角形，且，

由勾股定理得：，

，

∴.

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或或.