【題目】如圖1,點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn),△ABD,△AEC都是等邊三角形,BE交AD于點(diǎn)M,CD交AE于N.
(1)求證:BE=DC;
(2)求證:△AMN是等邊三角形;
(3)將△ACE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其它條件不變,在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形,并判斷(1)、(2)兩小題結(jié)論是否仍然成立,并加以證明.
【答案】(1)證明見詳解;(2)證明見詳解;(3)(1)的結(jié)論成立,(2)的結(jié)論不成立,證明見詳解
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,則∠DAC=∠BAE,根據(jù)“SAS"可判斷△ABE≌△ADC,則BE= DC;
(2)由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC,根據(jù)"AAS"可判斷△ABM≌△ADN(AAS),則AM=AN;∠DAE=60°,根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△AMN是等邊三角形.
(3)判定結(jié)論1是否正確,也是通過證明△ABE≌△ADC求得,這兩個三角形中AB=AD,AE=AC,∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等BE=CD,結(jié)論1正確;將△ACE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,則∠DAC> 90°,因此三角形AMN絕對不可能是等邊三角形.
解:(1)∵△ABD,△AEC都是等邊三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC;
(2)由上述(1)證得:△ABE≌△ADC,
∴∠ABM=∠ADN.
在△ABM和△ADN中, ,
∴△ABM≌△ADN(AAS),
∴AM=AN.
∵∠DAE=60°,
∴△AMN是等邊三角形;
(3)∵△ABD,△AEC都是等邊三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=DC,∠ABE=∠ADC,
∵∠BAC=90°
∴∠MAN>90°,
∵∠MAN≠60°,
∴△AMN不是等邊三角形,
∴(1)的結(jié)論成立,(2)的結(jié)論不成立.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B為y軸正半軸上一動點(diǎn),連接AB,以AB為一邊向下作等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),連接CD,過E作EF∥DC交BC的延長線于F.
(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過舉國上下抗擊新型冠狀病毒的斗爭,疫情得到了有效控制,國內(nèi)各大企業(yè)在2月9日后紛紛進(jìn)入復(fù)工狀態(tài).為了了解全國企業(yè)整體的復(fù)工情況,我們查找了截止到2020年3月1日全國部分省份的復(fù)工率,并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了一些信息:
a.截止3月1日20時,全國已有11個省份工業(yè)企業(yè)復(fù)工率在90%以上,主要位于東南沿海地區(qū),位居前三的分別是貴州(100%)、浙江(99.8%)、江蘇(99%).
b.各省份復(fù)工率數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖1(數(shù)據(jù)分成6組,分別是40<x≤50;
50<x≤60;60<x≤70;70<x≤80;80<x≤90;90<x≤100):
c.如圖2,在b的基礎(chǔ)上,畫出扇形統(tǒng)計圖:
d.截止到2020年3月1日各省份的復(fù)工率在80<x≤90這一組的數(shù)據(jù)是:
81.3 | 83.9 | 84 | 87.6 | 89.4 | 90 | 90 |
e.截止到2020年3月1日各省份的復(fù)工率的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
日期 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
截止到2020年3月1日 | 80.79 | m | 50,90 |
請解答以下問題:
(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)扇形統(tǒng)計圖中50<x≤60這組的圓心角度數(shù)是 度(精確到0.1).
(3)中位數(shù)m的值是 .
(4)根據(jù)以上統(tǒng)計圖表簡述國內(nèi)企業(yè)截止3月1日的復(fù)工率分布特征.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】武漢某超市在疫情前用3000元購進(jìn)某種干果銷售,發(fā)生疫情后,為了保障附近居民的生活需求,又調(diào)撥9000元購進(jìn)該種干果.受疫情影響,交通等成本上漲,第二次的進(jìn)價比第一次進(jìn)價提高了20%,但是第二次購進(jìn)干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克,如果超市先按每千克9元的價格出售,當(dāng)大部分干果售出后,最后的600千克按原售價的7折售完.售賣結(jié)束后,超市決定將盈利的資金捐助給武漢市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市可以捐助___________元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=-2x+4與坐標(biāo)軸分別交于C、B兩點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥x軸,點(diǎn)P是x軸下方直線CD上的一點(diǎn),且△OCP與△OBC相似,求過點(diǎn)P的雙曲線解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是某品牌訂書機(jī),其截面示意圖如圖2所示.訂書釘放置在軌槽CD內(nèi)的MD處,由連接彈簧的推動器MN推緊,連桿EP一端固定在壓柄CF上的點(diǎn)E處,另一端P在DM上移動.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合后,拉動壓柄CF會帶動推動器MN向點(diǎn)C移動.使用時,壓柄CF的端點(diǎn)F與出釘口D重合,紙張放置在底座AB的合適位置下壓完成裝訂(即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合).已知CA⊥AB,CA=2cm,AH=12cm,CE=5cm,EP=6cm,MN=2cm.
(1)求軌槽CD的長(結(jié)果精確到0.1);
(2)裝入訂書釘需打開壓柄FC,拉動推動器MN向點(diǎn)C移動,當(dāng)∠FCD=53°時,能否在ND處裝入一段長為2.5cm的訂書釘?(參考數(shù)據(jù):≈2.24,≈6.08,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)
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