Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是AB、AC的中點，連接CD，過E作EF∥DC交BC的延長線于F．

（1）證明：四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）若四邊形CDEF的周長是25cm，AC的長為5cm，求線段AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB=13cm，

【解析】（1）由三角形中位線定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后結(jié)合已知條件“EF∥DC”，利用兩組對邊相互平行得到四邊形DCFE為平行四邊形；

（2）根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DC，即可得出四邊形DCFE的周長=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根據(jù)勾股定理即可求得；

（1）∵D、E分別是AB、AC的中點，F是BC延長線上的一點，

∴ED是Rt△ABC的中位線，

∴ED∥FC．BC=2DE，

又 EF∥DC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形CDEF是平行四邊形；

∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴AB=2DC，

∴四邊形DCFE的周長=AB+BC，

∵四邊形DCFE的周長為25cm，AC的長5cm，

∴BC=25﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，

解得，AB=13cm.