Question

【題目】如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC＝CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）連接OC，交⊙O于點G，若AB＝4，求線段CE、CG與圍成的陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）已知AB為直徑，只需證明∠BAD=90°即可，根據直角三角形判定定理證明△ABD為直角三角形即可求出∠DAB＝90°，根據切線的判定推出即可．

（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，即可求出答案．

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AC＝BC，

又∵AC＝CD，

∴AC＝BC＝CD，

∴△ABD為直角三角形，

∴AB⊥AD，

∵AB為直徑，

∴AD是⊙O的切線．

（2）連接OE，如下圖所示：

∵OA＝OE，∠BAC＝60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴∠AOE＝60°，

∵CB＝BA，OA＝OB，

∴CO⊥AB，

∴∠AOC＝90°，

∴∠EOC＝30°，

∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，

∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝，同理等邊△AOE高是，

S陰影＝S△AOC﹣S等邊△AOE﹣S扇形EOG．