【題目】設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為外接圓半徑為,平面內(nèi)任意一點到等邊三角形中心的距離為若滿足則稱點叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點.在平面直角坐標系中,等邊的三個頂點的坐標分別為.
(1)①等邊中心的坐標為 ;
②已知點在中,是等邊的中心關(guān)聯(lián)點的是 ;
(2)如圖1,過點作直線交軸正半軸于使.
①若線段上存在等邊的中心關(guān)聯(lián)點求的取值范圍;
②將直線向下平移得到直線當滿足什么條件時,直線上總存在等邊的中心關(guān)聯(lián)點;
(3)如圖2,點為直線上一動點,的半徑為當從點出發(fā),以每秒個單位的速度向右移動,運動時間為秒.是否存在某一時刻使得上所有點都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點?如果存在,請直接寫出所有符合題意的的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)①;②;(2)①,②滿足條件的的值為;(3)存在. 或.
【解析】
(1)①求出OA=OB=OC=2,即可得等邊中心的坐標;
②分別求出OD,OE,OF,然后根據(jù)中心關(guān)聯(lián)點的定義判斷;
(2)①易得直線的解析式,判斷出點在直線AM上,根據(jù)點P在AE上時,可得此時點P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點;
②如圖1-2中,設(shè)平移后的直線交軸于點,過點作這條直線的垂線,垂足為,求出時OG的長,即可得到b的取值范圍;
(3)如圖2中,設(shè)Q(s,1),由題意得當OQ=時,⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點,求出s即可得解.
解:(1)①∵,
∴OA=2,OB=,OC=,
∴等邊中心的坐標為;
②由題意得:,點是的中心,
,
點是的中心關(guān)聯(lián)點;
(2)①如圖1-1中,
∵OA=2,,
∴OM=,
易得直線的解析式為:,
∴在直線上,
因為,
所以為等邊三角形,
所以邊上的高長為,
當點在上時,,
所以當點在上時,點都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點,
所以;
如圖1-2中,設(shè)平移后的直線交軸于點過點作這條直線的垂線,垂足為,
當時,在中,,
,
,
滿足條件的的值為;
存在,
理由:如圖2中,設(shè),
由題意得,當時,上所有點都是等邊的中心關(guān)聯(lián)點,
∴,
解得:,
或.
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【題目】在平面直角坐標系中,A、B、C三點的坐標分別為:A(1,4)、B(0,3)、C(3,0),若P為x軸上一點,且∠BPC=2∠ACB,則點P的坐標為_____.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是邊AD上的一個動點(與點A,D不重合),連接EO并延長,交BC于點F,連接BE,DF.下列說法:
① 對于任意的點E,四邊形BEDF都是平行四邊形;
② 當∠ABC>90°時,至少存在一個點E,使得四邊形BEDF是矩形;
③ 當AB<AD時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是菱形;
④ 當∠ADB=45°時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是正方形.
所有正確說法的序號是:_________.
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【題目】再讀教材:寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫作黃金矩形.黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著名的建筑,為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設(shè)計.下面,我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形(提示:).
第一步:在矩形紙片一端 ,利用圖1的方法折出一個正方形,然后把紙片展平;
第二步:如圖2,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平;
圖1 圖2
第三步:折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,并把折到圖3中所示的處;
第四步:展平紙片,按照所得的點折出,使,則圖4中就會出現(xiàn)黃金矩形.
圖3 圖4
(1)在圖3中_________ (保留根號);
(2)如圖3,則四邊形的形狀是_________;
(3)在圖4中黃金矩形是_________.
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【題目】如圖,在正方形中,點分別是邊上的兩點,且分別交于.下列結(jié)論:①;②平分;③;④.其中正確的結(jié)論是( )
A.②③④B.①④C.①②③D.①②③④
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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,OE⊥BC垂足為E,AB⊥CD垂足為F.
(1)求證:AD=2OE;
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半徑為2,求兩陰影部分面積的和.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣2ax+c(a<0)的圖象過點A(3,m).
(1)當a=﹣1,m=0時,求拋物線的頂點坐標_____;
(2)如圖,直線l:y=kx+c(k<0)交拋物線于B,C兩點,點Q(x,y)是拋物線上點B,C之間的一個動點,作QD⊥x軸交直線l于點D,作QE⊥y軸于點E,連接DE.設(shè)∠QED=β,當2≤x≤4時,β恰好滿足30°≤β≤60°,a=_____.
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【題目】如圖,與軸交于點C,與軸的正半軸交于點K,過點作軸交拋物線于另一點B,點在軸的負半軸上,連結(jié)交軸于點A,若.
(1)用含的代數(shù)式表示的長;
(2)當時,判斷點是否落在拋物線上,并說明理由;
(3)過點作軸交軸于點延長至,使得連結(jié)交軸于點連結(jié)AE交軸于點若的面積與的面積之比為則求出拋物線的解析式.
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【題目】2019年3月15日,我國“兩會”落下帷幕.13天時間里,來自各地的5000余名代表、委員聚于國家政治中心,共議國家發(fā)展大計.某校初三(3)班張老師為了了解同學們對“兩會”知識的知曉情況,進行了一次小測試,測試滿分100分.其中
A組同學的測試成績分別為:91 91 86 93 85 89 89 88 87 91
B組同學的測試成績分別為:88 97 88 85 86 94 84 83 98 87
根據(jù)以上數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)完成下表:
組別 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
A組 | 89 | 89 | b | c |
B組 | 89 | a | 88 | 26.2 |
其中a= ,b= ,c= ,
(2)張老師將B組同學的測試成績分成四組并繪制成如圖所示頻數(shù)分布直方圖(不完整),請補全;
(3)根據(jù)以上分析,你認為 組(填“A”或“B”)的同學對今年“兩會”知識的知曉情況更好一些,請寫出你這樣判斷的理由(至少寫兩條):① ② .
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