【題目】定義:若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-滿足a+c=2b,則稱為y=ax2+bx+c為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù).
(1)判斷y=x+b和y=-是否存在“等差”函數(shù)?若存在,寫出它們的“等差”函數(shù);
(2)若y=5x+b和y=-存在“等差”函數(shù),且“等差”函數(shù)的圖象與y=-的圖象的一個交點的橫坐標為1,求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(3)若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-(其中a>0,c>0,a=b)存在“等差”函數(shù),且y=ax+b與“等差”函數(shù)有兩個交點A(x1,y1)、B(x2,y2),試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點P(x,y)(其中x1<x<x2),使得△ABP的面積最大?若存在,用c表示△ABP的面積的最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) ;(2),;(3)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)“等差”函數(shù)的定義,可知,,列方程求出b的值即可;
(2)根據(jù)“等差”函數(shù)的定義可得,,由此可列出“等差”函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式,當時聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求出,問題得解;
(3)根據(jù)“等差”函數(shù)的定義用c表示出a和b,然后得到“等差”函數(shù)的解析式與一次函數(shù)解析式,求出的值,過點P作軸,交AB于H,求出,然后根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值求解.
解:(1)存在.
假設一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“等差”函數(shù),
則,,
解得:
存在“等差”函數(shù),其解析式為;
(2)根據(jù)題意知:,
則“等差”函數(shù)的解析式為,
反比例函數(shù)的解析式為
根據(jù)題意,將代入,
得:,解得,
故一次函數(shù)的解析式為,反比例函數(shù)的解析式為;
(3)存在.
根據(jù)題意知:,
,
則“等差”函數(shù)的解析式為,一次函數(shù)解析式為
與“等差”函數(shù)有兩個交點,
即
如圖,過點P作軸,交AB于H,
點點在,之間
當時,S取得最大值,最大值為.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形ABCD在第一象限內(nèi),邊BC與x軸平行,A、B兩點的縱坐標分別為3,1,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過A,B兩點,則點D的坐標為( )
A. (2﹣1,3)B. (2+1,3)
C. (2﹣1,3)D. (2+1,3)
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【題目】勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.英國佩里加(H.Perigal,1801﹣1898)用“水車翼輪法”(圖1)證明了勾股定理.該證法是用線段QX,ST,將正方形BIJC分割成四個全等的四邊形,再將這四個四邊形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB(圖2).若AD=,tan∠AON=,則正方形MNUV的周長為( )
A. B. 18C. 16D.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知、,B為y軸上的動點,以AB為邊構(gòu)造,使點C在x軸上,為BC的中點,則PM的最小值為______.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,分析下列四個結(jié)論:①abc<0;②b2-4ac>0;③a+b+c>0;④a-b+c>0.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB的中點,連接DE、CE.
(1)求證:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.
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【題目】在“全民讀書月”活動中,小明調(diào)查了班級里40名同學本學期購買課外書的費用情況,并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖,請根據(jù)相關信息,解答下列問題:(直接填寫結(jié)果)
費用(元) | 20 | 30 | 50 | 80 | 100 |
人數(shù) | 6 | a | 10 | b | 4 |
(1)本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 元,中位數(shù)是 元;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,“50元”所對應的圓心角的度數(shù)為 度,該班學生購買課外書的平均費用為 元;
(3)若該校共有學生1000人,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計本學期購買課外書花費50元的學生有 人.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若邊AC的垂直平分線DE交AB于點D,連接CD,則△BDC的周長為( 。
A. 8 B. 9 C. 5+ D. 5+
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【題目】如圖1是小明制作的一副弓箭,點A,D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中,假設弓臂BAC始終保持圓弧形,弓弦不伸長.如圖2,當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.
(1)圖2中,弓臂兩端B1,C1的距離為______cm.
(2)如圖3,將弓箭繼續(xù)拉到點D2,使弓臂B2AC2為半圓,則D1D2的長為____cm.
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