【題目】已知,如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,對角線AC,BD交于O點,將直線AC繞點O順時針旋轉,分別交BC,AD于點E,F.
(1)求證:當旋轉角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)在旋轉過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如能,說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數(shù).
【答案】(1)見解析 (2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF,根據(jù)平行四邊形性質得出AF∥BE,即可推出四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)證△DFO≌△BEO,推出OF=OE,得出四邊形BEDF是平行四邊形,根據(jù)勾股定理求出AC,求出OA=AB=1,求出∠AOB=45°,根據(jù)∠AOF=45°,推出EF⊥BD,根據(jù)菱形的判定推出即可.
(1)證明:∵∠AOF=90°,∠BAO=90°,
∴AB∥EF,
又∵平行四邊形ABCD,
∴AF∥EB,
∴四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)當旋轉角∠AOF=45°時,四邊形BEDF是菱形,理由如下:
∵平行四邊形ABCD,
∴AD∥BC,BO=DO,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,
在△DFO和△BEO中
∵,
∴△DFO≌△BEO(AAS),
∴OF=OE,
∴四邊形BEDF是平行四邊形,
∵AB=1,BC=,
∴在Rt△BAC中,由勾股定理得:AC=2,
∴AO=1=AB,
∴∠AOB=45°,
又∵∠AOF=45°,
∴∠BOF=90°,
∴BD⊥EF,
∴四邊形BEDF是菱形,
即在旋轉過程中,四邊形BEDF能是菱形,此時AC繞點O順時針旋轉的度數(shù)是45°.
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【題目】小剛根據(jù)以往的學習經(jīng)驗,想通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.
以下是小剛的探究過程,請補充完整.
(1)具體運算,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:
特例1:;特例2:;特例3:;
特例4:______(舉一個符合上述運算特征的例子);
(2)觀察、歸納,得出猜想:
如果為正整數(shù),用含的式子表示這個運算規(guī)律:______;
(3)請你證明猜想的正確性.
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【題目】對于一個函數(shù),如果它的自變量 x 與函數(shù)值 y 滿足:當1≤x≤1 時,1≤y≤1,則稱這個函數(shù)為“閉 函數(shù)”.例如:y=x,y=x 均是“閉函數(shù)”. 已知 y ax2 bx c(a0) 是“閉函數(shù)”,且拋物線經(jīng)過點 A(1,1)和點 B(1,1),則 a 的取值范圍是______________.
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【題目】已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖),折疊紙面.
(1)若1表示的點與﹣1表示的點重合,則﹣3表示的點與數(shù) 表示的點重合;
(2)若﹣1表示的點與3表示的點重合,回答以下問題:
①原點與數(shù) 表示的點重合;
②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為7,且A、B兩點經(jīng)折疊后重合,則A、B兩點表示的數(shù)是
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【題目】在矩形ABCD中,點E為AD的中點,連接BE、AC,AC⊥BE于點F,連接DF,對于結論①CF=2AF②△AEF∽△CAB③DF=DC④tan∠CAD=正確的有_______________.
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【題目】為了節(jié)約用水,某水廠規(guī)定:某單元居民如果一個月的用水量不超過噸,那么這個月該單元居民只交10元水費.如果超過噸,則這個月除了仍要交10元水費外,超過那部分按每噸元交費.
(1)該單元居民8月份用水80噸,超過了“規(guī)定的噸”,則超過部分應交水費 (80-x)
元(用含x的式子表示).
(2)下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況:
月份 | 用水量(噸) | 交費總數(shù)(元) |
9月份 | 85 | 25 |
10月份 | 50 | 10 |
根據(jù)上表數(shù)據(jù),求該x噸是多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=x和的圖象分別為直線l1、l2,過點A1(1,)作x軸的垂線交l1于點A2,過點A2作y軸的垂線交l2于點A3,過點A3作x軸的垂線交l1于點A4,過點A4作y軸的垂線交l2于點A5,……依次進行下去,則點A2019的橫坐標為( 。
A.21008B.﹣21008C.﹣21009D.21006
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)(a、b都是常數(shù),且a<0)的圖像與x軸交于點、,頂點為點C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式及點C的坐標;
(2)過點B的直線交拋物線的對稱軸于點D,聯(lián)結BC,求∠CBD的余切值;
(3)點P為拋物線上一個動點,當∠PBA=∠CBD時,求點P的坐標.
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