【題目】如圖,已知:拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)為頂點(diǎn),連接,,拋物線的對(duì)稱軸與軸交與點(diǎn).
(1)求拋物線解析式及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)G是拋物線上,之間的一點(diǎn),且,求出點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在拋物線上,之間是否存在一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),使以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);頂點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)點(diǎn);(3)存在,或.
【解析】
(1)由點(diǎn)A、B坐標(biāo)即可得到拋物線的解析式,將配成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn);
(2)設(shè),待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,求出DF,得到△BCD的面積,根據(jù),得到,待定系數(shù)法求出BD解析式,從而表達(dá)出△BDG的面積,列出方程即可解答;
(3)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,則以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,①當(dāng)△PCB∽△BDE,②當(dāng)△CPB∽△BDE,利用相似比解出BP,求出點(diǎn)P坐標(biāo)及直線CP的解析式,聯(lián)立方程組即可求出M的坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn),
∴,
解得.
所以,拋物線的解析式為;
∴;
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)連接,
令,則,
所以,點(diǎn),
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+d,
將,代入得,解得a=1,d=-3;
∴直線的解析式為,
設(shè)直線與對(duì)稱軸相交于點(diǎn),
時(shí),,
所以,點(diǎn),
所以,,
∴,
∵,
∴,
設(shè)過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線相交于點(diǎn),直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
設(shè),
則,
所以,,
整理得,,
解得,
,
所以,點(diǎn);
(3)存在
由勾股定理得,,
如圖,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,過(guò)點(diǎn)作軸于,
∵,
∴,
∵,,,
∴、與軸的夾角都是45°,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,
∴以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似,
①當(dāng)△PCB∽△BDE
∴,即
解得,
∴,
所以,,
所以,點(diǎn),
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
聯(lián)立,
解得(舍去),,
所以,點(diǎn),
②當(dāng)△CPB∽△BDE
∴,即
解得,
∴,
所以,,
所以,點(diǎn),
設(shè)直線的解析式為,
則,
解得,
所以,直線的解析式為,
聯(lián)立,
解得(舍去),,
∴點(diǎn),
綜上所述,存在點(diǎn)或,使、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】工程隊(duì)在完成某項(xiàng)工程的過(guò)程中,因提高了工作效率從而縮短了工作時(shí)間.經(jīng)測(cè)試:工作時(shí)間縮短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍,且提高工作效率后的工作量是原來(lái)工作量的0.88倍.若完成原來(lái)工作量的時(shí)間為3小時(shí),求提高工作效率后完成工作量所花的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年3月19日,河南省教育廳發(fā)布《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的實(shí)施方案》,某中學(xué)為落實(shí)方案,給學(xué)生提供了以下五種主題式研學(xué)線路:A.“紅色河南”,B.“厚重河南”C.“出彩河南”,D.“生態(tài)河南”,E.“老家河南”為了解學(xué)生最喜歡哪一種研學(xué)線路(每人只選取一種),隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表
主題 | 人數(shù)/人 | 百分比 |
A | 75 | n% |
B | m | 30% |
C | 45 | 15% |
D | 60 | |
E | 30 |
(1)本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人,統(tǒng)計(jì)表中m= ,n= .
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若把條形統(tǒng)計(jì)圖改為扇形統(tǒng)計(jì)圖,則“生態(tài)河南”主題線路所在扇形的圓心角度是 .
(4)若該實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有學(xué)生3000人,請(qǐng)據(jù)此估計(jì)該校最喜歡“老家河南”主題線路的學(xué)生有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形,再依次連接菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形,按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)分別為6和8,則第n個(gè)菱形的周長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,且AC在直線l上,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①,可得到點(diǎn)P1,此時(shí)AP1=2;將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②,可得到點(diǎn)P2,此時(shí)AP2=2+;將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③,可得到點(diǎn)P3,此時(shí)AP3=3+;…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn),直到點(diǎn)P2020為止,則AP2020等于_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某無(wú)人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上開(kāi)展活動(dòng)(如圖),此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30米的D處,無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為37°,測(cè)得點(diǎn)C處的俯角為45°.又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量操控者A和教學(xué)樓BC距離為57米,求教學(xué)樓BC的高度.(注:點(diǎn)A,B,C,D都在同一平面上.參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為某景區(qū)五個(gè)景點(diǎn)A、B、C、D、E的平面示意圖,B、A在C的正東方向,D在C的正北方向,D和E均在B的北偏西18°方向上,E在A的西北方向上,C、D相距1000米,E在BD的中點(diǎn)處,求景點(diǎn)B、A之間的距離.(結(jié)果保留整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin18°≈0.3;cos18°≈0.9;tan18°≈0.3;sin72°≈0.9;cos72°≈0.3;tan72°≈3.1;≈1.4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在某建筑物AC上,掛著宣傳條幅BC,小明站在點(diǎn)F處,看條幅頂端B,測(cè)得仰角為30°,再往條幅方向前行30米到達(dá)點(diǎn)E處,看到條幅頂端B,測(cè)得仰角為60°,求宣傳條幅BC的長(zhǎng).(注:不計(jì)小明的身高,結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)1.4,1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一游船往返于A,B,C三島,此船從A島出發(fā)向正東方向航行1小時(shí)到達(dá)B島,C島在A島的北偏東60°方向,在B島的北偏東15°方向,已知游船的航速為20海里/小時(shí),求此船從B島航行到C島需要多少小時(shí)?(≈1.414,結(jié)果精確到0.1小時(shí))
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