Question

1．如圖，矩形ABCD的長和寬分別為6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH的周長等于（　�。�

• A． 20
• B． 4$\sqrt{13}$
• C． 10
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點，利用三角形中位線定理求證EF=GH=FG=EH，然后利用四條邊都相等的平行四邊形是菱形．根據(jù)菱形的性質(zhì)來計算四邊形EFGH的周長即可．

解答 解：連接BD，AC．
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，∠DAB=90°，則由勾股定理易求得BD=AC=2$\sqrt{13}$．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，EF∥AC，
又GH為△BCD的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，GH∥AC，
∴HG=EF，HG∥EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
同理可得：FG=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，EH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，
∴EF=GH=FG=EH=$\sqrt{13}$，
∴四邊形EFGH是菱形．
∴四邊形EFGH的周長是：4EF=4$\sqrt{13}$，
故選：B．

點評 本題考查的是考查學(xué)生對菱形的判定、三角形中位線定理、和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是利用三角形中位線定理求證EF=GH=FG=EH．