Question

11．如圖1，已知拋物線y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于A和B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D
（1）求出點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若線段OB在x軸上移動(dòng)，且點(diǎn)O，B移動(dòng)后的對應(yīng)點(diǎn)為O′，B′．首尾順次連接點(diǎn)O′、B′、D、C構(gòu)成四邊形O′′B′DC，請求出四邊形O′B′DC的周長最小值．
（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸上，連接CM、MN．當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令拋物線解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用配方法將拋物線解析式進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時(shí)四邊形O′B′DC周長取最小值．再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出CD、DC″的長度，即可得出結(jié)論；
（3）按點(diǎn)M的位置不同分兩種情況考慮：①點(diǎn)M在直線y=x-3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在直線y=-x-3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．綜合兩種情況即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中y=0，則$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x²-2x）-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴D（1，-$\frac{27}{8}$）．
（2）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中x=0，則y=-3，
∴C（0，-3）．
D（1，-$\frac{27}{8}$），O′B′=OB=4．
如圖1，作點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時(shí)四邊形O′B′DC周長取最小值．
此時(shí)C_{四邊形O′B′DC}=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″．
∵O′B′=4，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（-3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$，C″D=$\sqrt{（4-1）^{2}+（3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{353}}{8}$，
∴四邊形O′B′DC的周長最小值為4+$\frac{\sqrt{73}}{8}$+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．
（3）△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況（如圖2）：
①過點(diǎn)C作直線y=x-3交拋物線于點(diǎn)M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{14}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍去），
∴M（$\frac{14}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{19}{3}$）；
②過點(diǎn)C作直線y=-x-3交拋物線于點(diǎn)M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍去），
∴M（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．
綜上可知：當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）、（0，$\frac{19}{3}$）、（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了解一元二次方程、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）令y=0求出A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）找出四邊形O′B′DC的周長最小時(shí)點(diǎn)B′的位置；（3）分兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．