Question

【題目】如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)，另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）如圖2，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，連接交于點(diǎn)求證：；

（3）如圖3，將“正方形”改為“矩形”，且將三角板的直角頂點(diǎn)放于對(duì)角線(不與端點(diǎn)重合)上，使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，另一邊交于點(diǎn)，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型利用正方形的性質(zhì)，由可證明，從而可得結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)可知，結(jié)合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得 ，從而證明 ，由相似三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）首先過點(diǎn)作，垂足為，交AD于M點(diǎn)，由有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．

（1）證明：∵在正方形ABCD中，

∴，

又∵，

，

在和中，

，

∴（ASA），

；

（2）證明 ：∵四邊形ABCD是正方形，

∴，

又∵，

∴，

由（1）可知，

∴，

∴，

由（1）可知是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（1）可知，

∴．

（3）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，交AD于M點(diǎn)，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴，，

∴四邊形ABNM是矩形，

∴ ，，

∴

又∵ ，

∴，

∴，

∴，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∵

．