Question

【題目】如圖1，已知□ABCD，AB//x軸，AB=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3,4），點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是□ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若點(diǎn)P在邊AB，AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)P在邊AB，AD，CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線PM，過點(diǎn)G作x軸的平行線GM，它們相交于點(diǎn)M，將△PGM沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）.（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）或（，3）或（，4）或（，4）.

【解析】試題（1）點(diǎn)P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合；

（2）首先要分點(diǎn)P在邊AB，AD上時(shí)討論，根據(jù)“點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q”，即還要細(xì)分“點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q”討論，根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征（關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，相反；）將得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入直線y=x-1，即可解答；

（3）在不同邊上，根據(jù)圖象，點(diǎn)M翻折后，點(diǎn)M’落在x軸還是y軸，可運(yùn)用相似求解．

試題解析：解：（1）∵CD=6，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，由已知得，直線AD的函數(shù)表達(dá)式為： ，設(shè)P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q1（a，2a+2）在直線y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此時(shí)P（-3，4）．

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q2（-a，-2a-2）在直線y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時(shí)P（-1，0）．

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P（a，-4），且1≤a≤7．

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q3（a，4）在直線y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此時(shí)P（5，-4）．

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q4（-a，-4）在直線y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此時(shí)P（3，-4）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．

（3）因?yàn)橹本�AD為y=-2x-2，所以G（0，-2）．

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，可設(shè)P（m，4），且-3≤m≤3，則可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，則P（ -，4）或（ ，4）；

②如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，設(shè)P（m，-2m-2），則PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易證得△OGM′∽△HM′P，則，即，則OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，則P（-，3）；

如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，設(shè)P（m，-4），此時(shí)M′在y軸上，則四邊形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，則P（2，-4）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．