Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x，y）的變換點(diǎn)為P′（x+y，x﹣y）．

（1）如圖1，如果⊙O的半徑為2，

①判斷M（2，0），N（﹣2，1）兩個(gè)點(diǎn)的變換點(diǎn)M′、N′與⊙O的位置關(guān)系；

②若點(diǎn)P在直線y=x-2上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′不在⊙O外，結(jié)合圖形求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x的取值范圍．

（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點(diǎn)P′在直線y=﹣2x+5上，求點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①M’點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)N’不在圓O上.；②；（2）.

【解析】

（1）①根據(jù)新定義得到點(diǎn)M的變換點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），于是根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM′=2，則根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法可判斷點(diǎn)M的變換點(diǎn)在⊙O上；同樣方法可判斷點(diǎn)N（-1，-3）的變換點(diǎn)在⊙O外；②利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-2），利用新定義得到P點(diǎn)的變換點(diǎn)為P′的坐標(biāo)為（2x-2， 2），則根據(jù)勾股定理計(jì)算出OP′=，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到≤2，解不等式得；

（2）設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，-2x+5），P（m，n），根據(jù)新定義得到m+n=x，m-n=-2x+5，消去x得3m+n=5，則n=-3m+5，于是得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-3m+5），則可判斷點(diǎn)P在直線y=-3x+5上，設(shè)直線y=-3x+5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，易得A（，0），B（0，5），利用勾股定理計(jì)算出AB=，再利用面積法計(jì)算出OH=，所以CH=-1，當(dāng)點(diǎn)P在H點(diǎn)時(shí)，PC為點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值．

（1）①M（2，0）的變換點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（2，2），則OM′==2，所以點(diǎn)M（2，0）的變換點(diǎn)在⊙O上；

N（-2，1）的變換點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（-1，-3），則ON′==＞2，所以點(diǎn)N（-2，-1）的變換點(diǎn)在⊙O外；

②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-2），則P點(diǎn)的變換點(diǎn)為P′的坐標(biāo)為（2x-2，2），則OP′=，

∵點(diǎn)P′不在⊙O外，

∴≤2，

∴（2x-2）2≤4，即（x-1）2≤1，

∴-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，

即點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為0≤x≤2；

（2）設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（x，-2x+5），P（m，n），

根據(jù)題意得m+n=x，m-n=-2x+5，

∴3m+n=5，

即n=-3m+5，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-3m+5），

∴點(diǎn)P在直線y=-3x+5上，

設(shè)直線y=-3x+5與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖，

則A（，0），B（0，5），

∴AB==，

∵OHAB=OAOB，

∴OH==，

∴CH=-1，

即點(diǎn)P與⊙O上任意一點(diǎn)距離的最小值為-1．