Question

17．如圖，拋物線y=x²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AB于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，直線AB與y軸交于點(diǎn)E，當(dāng)m為何值時(shí)，以E，C，P，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在直線AB的下方的拋物線上存在點(diǎn)P，滿足∠PBD=45°，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只需先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）易求出點(diǎn)E、C的坐標(biāo)，從而求出EC的長(zhǎng)．易證EC∥DP，要使以E，C，P，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只需DP=EC，只需用含有m的代數(shù)式表示出點(diǎn)D、P的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)DP=EC建立關(guān)于m的方程并解此方程，就可解決問(wèn)題；
（3）連接BP，與x軸交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，如圖所示．要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需求出直線BP的解析式，只需求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，只需求出AF的長(zhǎng)，易證△AOE∽△AGF∽△AHB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=2GF，AH=2BH=4，根據(jù)勾股定理可得AB=2$\sqrt{5}$．由∠ABP=45°，F(xiàn)G⊥AB可得FG=BG．設(shè)FG=x，則有AG=2x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，從而可求出x，根據(jù)勾股定理可求出AF，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，y_A=0，y_B=2，
∴x_A=-1，x_B=3，
∴A（-1，0），B（3，2）．
∵點(diǎn)A、B在拋物線y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$；

（2）∵點(diǎn)C是拋物線y=x²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$與y軸的交點(diǎn)，
∴C（0，-$\frac{5}{2}$）．
∵點(diǎn)E是直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$與y軸的交點(diǎn)，
∴E（0，$\frac{1}{2}$），
∴EC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{5}{2}$）=3．
∵PD⊥x軸，
∴x_D=x_P=m，
∴y_D=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$，y_P=m²-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$，
∴DP=|m²-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$|=|m²-2m-3|．
∵EC⊥x軸，DP⊥x軸，
∴EC∥DP．
∴當(dāng)DP=EC=3時(shí)，以E、C，P，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
此時(shí)|m²-2m-3|=3，
解得m₁=1+$\sqrt{7}$，m₂=1-$\sqrt{7}$，m₃=0，m₄=2．
∵點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴m=1+$\sqrt{7}$或2；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
提示：連接BP，與x軸交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，如圖所示．
易證△AOE∽△AGF∽△AHB，從而可得$\frac{GF}{AG}$=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
則有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2$\sqrt{5}$．
由∠ABP=45°，F(xiàn)G⊥AB可得FG=BG．
設(shè)FG=x，則AG=2x，AF=$\sqrt{5}$x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，
即可得到x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AF=$\frac{10}{3}$，OF=AF-AO=$\frac{7}{3}$，F(xiàn)（$\frac{7}{3}$，0），
運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線BF的解析式為y=3x-7．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，具有解三角形意識(shí)（在△ABF中知道三個(gè)元素∠BAF、∠ABF及AB可求AF等其它元素）是解決第（3）小題的關(guān)鍵．