Question

5．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，過點C作x軸的平行線與拋物線交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在x軸上，以A、P、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；
（3）若⊙M的半徑為1，圓心M在拋物線上運動，當⊙M與y軸相切時，求⊙M上的點到點C的最短距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等，可得D點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得D點坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AP=CD，可得P點坐標；
（3）根據(jù)圓與y軸相切，可得M點的橫坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系，可得M點的坐標，根據(jù)勾股定理，可得CM的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）將A、B點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
（2）當x=0時，y=-x²+2x+3=3，即C（0，3）．
CD∥AP，D點的縱坐標等于C點的坐標，得
D點的縱坐標為3．
當y=3時，-x²+2x+3=3，
解得x=0（不符合題意，舍），x=2，即D（2，3）．
CD的長為2-0=2．

如圖1，
以AC為邊的?APCD，得
AP=CD=2，-1+2=1，即P（1，0）；
如圖2，
以AC為對角線的?APCD，得
AP=CD=2，-1-2=-3，即P（-3，0）；
綜上所述：點P在x軸上，以A、P、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標（1，0）或（-3，0）；
（3）如圖3，
⊙M的半徑為1，圓心M在拋物線上運動，當⊙M與y軸相切時，得
M的橫坐標為1，或-1．
①當x=1時，作M₁G⊥y軸于G點，y=-x²+2x+3=4，即M₁（1，4），G（0，4）．
CG=4-3=1，M₁G=1．
由勾股定理，得M₁C=$\sqrt{C{G}^{2}+G{{M}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
CE=CM₁-M₁E=$\sqrt{2}$-1；
②當x=-1時，y=-x²+2x+3=0，即M₂（-1，0）．
由勾股定理，得M₂C=$\sqrt{{M}_{2}{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
CF=M₂C-M₂F=$\sqrt{10}$-1；
∵$\sqrt{2}$-1＜$\sqrt{10}$-1，
⊙M上的點到點C的最短距離是$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行四邊形的性質(zhì)得出AP=CD是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用圓與y軸相切得出M點的橫坐標是解題關(guān)鍵，又利用了勾股定理．