Question

6．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AC上，M為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BDM為等腰直角三角形；
（2）將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變，結(jié)論是否依然成立？
將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，結(jié)論是否依然成立？
將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，其他條件不變，結(jié)論是否依然成立？
以上三種情況請(qǐng)你選擇一種情況，畫出相應(yīng)的圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以證明∠BMD=90°，所以△BMD為等腰直角三角形；
（2）①延長(zhǎng)DM交BC于N，只要證明△EDM與△MNC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=MN，然后即可證明BM⊥DM，且BM=DM．
②延長(zhǎng)DM與BC交于點(diǎn)N，只要證明△MDE≌△MFC和△BCF≌△BAD即可．
③作CN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接BN，只要證明△MDE≌△MFC和△DBA≌△NBC即可．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，
∴BM=$\frac{1}{2}$EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠BME=2∠BCM．
同理可證：DM=$\frac{1}{2}$EC=MC，∠EMD=2∠MCD，
∴∠BMD=2∠BCA=90°，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰直角三角形．
（2）如圖1，①結(jié)論仍然成立．
理由：延長(zhǎng)DM與BC交于點(diǎn)N，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCN，
又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，
∴△EDM≌△MNC，
∴DM=MN，DE=NC=AD，
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN，
∴BD=BN，
∴BM⊥DM．即∠BMD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$N=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．
答：△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論仍成立，
②如圖2，結(jié)論仍然成立．
理由是：作DM的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，連接BF，
∵∠EDA=∠DAC=90°
∴DE∥CF，
∴∠DEM=∠FCM，
在△EMD和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠FCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠FMC}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
在△BDA和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BDA=∠BCF=45°}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
∴BM⊥MF，BM=MF，∠BFM=45°，
∴△BMD是等腰直角三角形
③如圖3，結(jié)論仍然成立．
證明：作CN∥DE交DM的延長(zhǎng)線于N，連接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CN}\\{∠DAB=∠BCN}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度中等．