Question

【題目】如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，且.點(diǎn)為上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連結(jié)，，，，.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).給出下列結(jié)論:①是等邊三角形；②在點(diǎn)從的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值始終等于.則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.①，②都對(duì)B.①對(duì)，②錯(cuò)C.①錯(cuò)，②對(duì)D.①，②都錯(cuò)

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據(jù)OE=DE=OD，OE⊥AE,可得∠OAE=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理的推論，可以得出△ABC中兩個(gè)內(nèi)角為60°，可以得出結(jié)論；②延長(zhǎng)CP，使PQ=CP，連接BQ,根據(jù)∠BPQ=∠CAB=60°，可得△BPQ為等邊三角形，再證明△CBQ≌△ABP，推出CQ=AP,因此AP-BP=CQ-PQ=CP,在Rt△CFP中從而可得出結(jié)論.

解：①∵OE=DE=OD，OE⊥AE,∴∠OAE=30°，

∴∠AOE=60°，又OC=AO,∴∠CAO=∠ACO=30°，

根據(jù)垂徑定理的推論可得，弧AD=弧BD，∴∠ACD=∠BCD=30°，

∴∠CAB=∠ACB=60°，

∴△ABC為等邊三角形.故①正確.

②延長(zhǎng)CP，使PQ=CP，連接BQ,

∵四邊形ABPC為圓O的內(nèi)接圓，

∴∠BPQ=∠CAB=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

∴BQ=BP=PQ，∠QBP=60°，

∴∠QBP=∠ABC,

∴∠CBQ=∠ABP，

又∠PAB=∠BCP,BQ=BP,

∴△CBQ≌△ABP（AAS）,

∴AP=CQ,

∴AP-BP=CQ-PQ=CP.

在Rt△CPF中，∠CPF=∠BPQ=60°，

∴,

∴

故②正確

故選：A.