Question

6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6）、B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)在線段上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）在移動的過程中，探究以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形能否與△AOB相似，若能求出t的值，若不能說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；
（2）分△APQ∽△AOB和△APQ∽△AOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理、結(jié)合圖形計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）∵點(diǎn)A（0，6）、B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
根據(jù)題意得：AP=t，AQ=10-2t；
有兩種不同的對應(yīng)：
①△APQ∽△AOB時，$\frac{AP}{AO}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{t}{6}=\frac{10-2t}{10}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$；
②△AQP∽△AOB，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，
即$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{6}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$；
綜上所述：以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形能與△AOB相似，t的值為$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$．

點(diǎn)評 本題是相似形綜合題目，考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系；掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．