Question

1．我們知道，通過添加平行線，可以得到相等的角．
（1）如圖1，已知△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，若過A點(diǎn)作MN∥BC，請根據(jù)圖中的輔助線，說明：∠DAB=∠DAC；
（2）如圖2，請用添加平行線的方法解決問題：已知D為∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BD、CD．求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（3）如圖3，已知∠A=50°，∠B+∠F=70°，∠F+∠C=60°，∠B+∠C=50°，則∠D+∠E=140°（不寫求解過程，直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）先證明DA⊥MN，由∠BAD=90°-∠MAB，∠DAC=90°-∠NAC即可解決問題．
（2）如圖2中，作CM∥AB交BD的延長線于M，根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可解決問題．
（3）利用（2）的結(jié)論即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵M(jìn)N∥BC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠MAB=∠NAC，
∵AD⊥BC，MN∥BC，
∴DA⊥MN，
∴∠MAD=∠NAD=90°，
∵∠BAD=90°-∠MAB，∠DAC=90°-∠NAC，
∴∠BAD=∠CAD．

（2）如圖2中，作CM∥AB交BD的延長線于M．

∵AB∥CM，
∴∠B=∠M，∠A=∠ACM，
∴∠BDC=∠DCM+∠M=∠ACD+∠ACM+∠M=∠ACD+∠B+∠A．

（3）如圖3中，連接AF．

由（2）可知，∠BDF=∠B+∠BAF+∠AFD，∠FEC=∠C+∠CAF+∠AFE，
∴∠D+∠E=∠B+∠BAF+∠AFD+∠AFE+∠FAC+∠C=∠B+∠BAC+∠C+∠DFE．
∵∠B+∠F=70°，∠F+∠C=60°，
∴∠B+2∠F+∠C=130°，
∵∠B+∠C=50°，
∴∠F=40°，
∴∠D+∠E=50°+50°+40°=140°．
故答案為140．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，學(xué)會利用結(jié)論解決新的問題，屬于中考�？碱}型．