【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設運動時間為t秒.
(1)填空:點A坐標為;拋物線的解析式為 .
(2)在圖①中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形?
(3)在圖②中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?
【答案】
(1)解:(1,4);y=﹣x2+2x+3
(2)解:依題意有:OC=3,OE=4,
∴CE= = =5,
當∠QPC=90°時,
∵cos∠QCP= = ,
∴ = ,
解得t= ;
當∠PQC=90°時,
∵cos∠QCP= = ,
∴ = ,
解得t= .
∴當t= 或t= 時,△PCQ為直角三角形
(3)解:∵A(1,4),C(3,0),
設直線AC的解析式為y=kx+b,則
,
解得 .
故直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+ ,
∴Q點的橫坐標為1+ ,
將x=1+ 代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣ .
∴Q點的縱坐標為4﹣ ,
∴QF=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ ,
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ
= FQAG+ FQDG
= FQ(AG+DG)
= FQAD
= ×2(t﹣ )
=﹣ +t
=﹣ (t2+4﹣4t﹣4)
=﹣ (t﹣2)2+1,
∴當t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1
【解析】解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上, ∴點A坐標為(1,4),
設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,
把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,
解得a=﹣1.
故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(1)根據(jù)拋物線的對稱軸與矩形的性質可得點A坐標,根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式;(2)先根據(jù)勾股定理可得CE,再分兩種情況:當∠QPC=90°時;當∠PQC=90°時;討論可得△PCQ為直角三角形時t的值;(3)根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式,根據(jù)S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣ (t﹣2)2+1,依此即可求解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,點 B(m,n) 在第一象限,m,n 均為整數(shù),且滿足n =.
(1) 求點 B 的坐標;
(2) 將線段 OB 向下平移 a 個單位后得到線段 O′B′,過點 B′作 B′C⊥y 軸于點 C,若 3CO=2CO′,求a 的值;
(3) 過點 B 作與 y 軸平行的直線 BM,點 D 在 x 軸上,點 E 在 BM 上,點 D 從 O 點出發(fā)以每秒鐘 3個單位長度的速度沿 x 軸向右運動,同時點 E 從 B 點出發(fā)以每秒鐘 2 個單位長度的速度沿BM 向下運動,在點 D,E 運動的過程中,若直線 OE,BD 相交于點 G,且 5≤S△OGB≤10,則點G 的橫坐標 xG的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A是一次函數(shù)(x≥0)圖象上一點,過點A作x軸的垂線l,B是l上一點(B在A上方),在AB的右側以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC,反比例函數(shù)(x>0)的圖象過點B,C,若△OAB的面積為6,則△ABC的面積是______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】體育課上,全班男同學進行了100米測驗,達標成績?yōu)?/span>15秒,如表是某小組8名男生的成績記錄,其中““表示成績大于15秒.
問:這個小組男生最優(yōu)秀的成績是多少秒?最差的成績是多少秒?
這個小組男生的達標率為多少?達標率
這個小組男生的平均成績是多少秒?
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【題目】數(shù)軸上有A,B,C,D四個點,它們與原點的距離分別為1,2,3,4個單位長度,且點A,C在原點左邊,點B,D在原點右邊.
(1)請寫出點A,B,C,D分別表示的數(shù);
(2)比較這四個數(shù)的大小,并用“>”連接.
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【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標軸上,點B的坐標為(﹣4,4).點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動;點Q從點O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運動,規(guī)定點P到達點O時,點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線,與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E,連接PE.設點P運動的時間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 , 點D的坐標為(用t表示);
(2)當t為何值時,△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.
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【題目】在關于x,y的方程組 中,未知數(shù)滿足x≥0,y>0,那么m的取值范圍在數(shù)軸上應表示為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,點P與點 Q 都在y軸上,且關于x軸對稱.
(1)請畫出△ABP 關于x軸的對稱圖形 (其中點 A 的對稱點用 表示,點 的對稱點用 表示);
(2)點P ,Q 同時都從y軸上的位置出發(fā),分別沿l1,l2方向,以相同的速度向右運動,在運動過程中是否在某個位置使得 成立?若存在,請你在圖中畫出此時 PQ 的位置(用線段 表示),若不存在,請你說明理由(注:畫圖時,先用鉛筆畫好,再用鋼筆描黑).
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