【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標軸上,點B的坐標為(﹣4,4).點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動;點Q從點O同時出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運動,規(guī)定點P到達點O時,點Q也停止運動.連接BP,過P點作BP的垂線,與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E,連接PE.設(shè)點P運動的時間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 , 點D的坐標為(用t表示);
(2)當t為何值時,△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化?若變化,說明理由;若不變,試求這個定值.

【答案】
(1)解:45°;(t,t)
(2)解:①若PB=PE,

由△PAB≌△DQP得PB=PD,

顯然PB≠PE,

∴這種情況應舍去.

②若EB=EP,

則∠PBE=∠BPE=45°.

∴∠BEP=90°.

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC.

在△POE和△ECB中,

∴△POE≌△ECB(AAS).

∴OE=CB=OC.

∴點E與點C重合(EC=0).

∴點P與點O重合(PO=0).

∵點B(﹣4,4),

∴AO=CO=4.

此時t=AP=AO=4.

③若BP=BE,

在Rt△BAP和Rt△BCE中,

∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL).

∴AP=CE.

∵AP=t,

∴CE=t.

∴PO=EO=4﹣t.

∵∠POE=90°,

∴PE=

= (4﹣t).

延長OA到點F,使得AF=CE,連接BF,如圖2所示.

在△FAB和△ECB中,

∴△FAB≌△ECB.

∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.

∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,

∴∠ABP+∠EBC=45°.

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°.

∴∠FBP=∠EBP.

在△FBP和△EBP中,

∴△FBP≌△EBP(SAS).

∴FP=EP.

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP.

∴EP=t+t=2t.

(4﹣t)=2t.

解得:t=4 ﹣4

∴當t為4秒或(4 ﹣4)秒時,△PBE為等腰三角形


(3)解:∵EP=CE+AP,

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8.

∴△POE周長是定值,該定值為8


【解析】解:(1)如圖1,
由題可得:AP=OQ=1×t=t(秒)
∴AO=PQ.
∵四邊形OABC是正方形,
∴AO=AB=BC=OC,
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,
∴∠BPD=90°.
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,
∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,

∴△BAP≌△PQD(AAS).
∴AP=QD,BP=PD.
∵∠BPD=90°,BP=PD,
∴∠PBD=∠PDB=45°.
∵AP=t,
∴DQ=t.
∴點D坐標為(t,t).
故答案為:45°,(t,t).
(1)易證△BAP≌△PQD,從而得到DQ=AP=t,從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點D的坐標.(2)由于∠EBP=45°,故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底邊不定,故分三種情況討論,借助于三角形全等及勾股定理進行求解,然后結(jié)合條件進行取舍,最終確定符合要求的t值.(3)由(2)已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8,從而解決問題.

練習冊系列答案
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【題目】某公司倉庫本周內(nèi)貨物進出的噸數(shù)記錄如下”表示進庫,“”表示出庫;

日期

星期日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

噸數(shù)

這一周,倉庫內(nèi)貨物的總噸數(shù)是______填“增多”或“減少”;

若周六結(jié)束時倉庫內(nèi)還有貨物360噸,則周日開始時倉庫內(nèi)有貨物多少噸?

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(1)填空:點A坐標為;拋物線的解析式為
(2)在圖①中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形?
(3)在圖②中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?

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(1)求本次抽樣測試的學生人數(shù);
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(1)若該客戶按方案購買,需付款______________元(用含x的代數(shù)式表示);若該客戶按方案購買,需付款________________用含x的代數(shù)式表示);

(2)若x=30,通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算?

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,-,,0.5,2π,3.14159265,-|-|,1.3030030003…(每相鄰兩個3之間依次多一個0).

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(2)無理數(shù):_________________________________________________________;

(3)正實數(shù):__________________________________________________________;

(4)負實數(shù):__________________________________________________________.

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