Question

16．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是AC上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于E，交BC于F．
（1）如圖1，若AB=4，CD=1，求AE的長；
（2）如圖2，點G時AE上一點，連接CG，若BE=AE+AG，求證：CG=$\sqrt{2}$AE；
（3）如圖3，點P是AC上一點，連接FP，若AP=CD，求證：∠ADB=∠CPF．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出AD=3，由勾股定求出BD，由三角形的面積求出AE即可；
（2）在BE上截取EH=AE，連接AH，則AG=BH，由SAS證明△ABH≌△CAG，得出AH=CG，在Rt△AEH中，EH=AE，即可得出結(jié)論；
（3）過C作CM⊥AC交AF延長線于M，由（2）知∠EAD=∠ABD，即∠MAC=∠ABD，由ASA證明△ABD≌△ACM，得出CM=AD，∠ADB=∠CMF，證出CP=CM，CF=∠MCF=45°，由SAS證明△CFP≌△CFM，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵AB=AC=4，CD=1，
∴AD=3，由勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵Rt△ABD的面積=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$AE•BD，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×AE×5，
解得：AE=$\frac{12}{5}$；
（2）證明：在BE上截取EH=AE，連接AH，如圖2所示：
∵BE=AE+AG，
∴AG=BH，
∵∠BAD=∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴△ADE∽△ADB，
∴∠EAD=∠ABD，
即∠CAG=∠ABH，
在△ABH和△CAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠CAG}\\{BH=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CAG（SAS），
∴AH=CG，
在Rt△AEH中，EH=AE，
∴AH=$\sqrt{2}$AE，
∴CG=$\sqrt{2}$AE；
（3）證明：過C作CM⊥AC交AF延長線于M，如圖3所示：
由（2）知∠EAD=∠ABD，
即∠MAC=∠ABD，
在△ABD和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠ABD}\\{AC=AB}\\{∠ACM=∠BAD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴CM=AD，∠ADB=∠CMF，
∵AP=CD，
∴AD=CP，
∴CP=CM，
∵Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠PCF=∠MCF=45°，
在△CFP和△CFM中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=CM}\\{∠PCF=∠MCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFP≌△CFM（SAS），
∴∠CPF=∠CMF，
∴∠ADB=∠CPF．

點評 本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．